Μέσο και κάθετη

KARKAR · #1

: Μέσο και κάθετη.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

$\bigstar$ Τα σημεία M , N , L

, είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ABC

και τα

είναι τα μέσα των τμημάτων AM , CN

αντίστοιχα . Έστω

η τομή των MN , PT

.

α) Δείξτε ότι το σημείο

είναι το μέσο του τμήματος

.

β) Βρείτε σχέση μεταξύ των b,c

, ώστε να είναι : $SL \perp BC$ .

Αν λύσετε την άσκηση με Ευκλείδεια Γεωμετρία , ακόμα καλύτερα !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 07, 2020 10:22 am
Μέσο και κάθετη.png $\bigstar$ Τα σημεία , είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου και τα

είναι τα μέσα των τμημάτων αντίστοιχα . Έστω η τομή των .

α) Δείξτε ότι το σημείο είναι το μέσο του τμήματος .

β) Βρείτε σχέση μεταξύ των , ώστε να είναι : $SL \perp BC$ .

Αν λύσετε την άσκηση με Ευκλείδεια Γεωμετρία , ακόμα καλύτερα !

Με Ευκλείδεια.

: Μέσο και κάθετη.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

α) Μενέλαος στο APT

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {MSN}:$ $\displaystyle \frac{{PS}}{{ST}} \cdot \frac{{NT}}{{NA}} \cdot \frac{{AM}}{{AP}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{PS}}{{ST}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{PS=ST}$

β) Αν P', T'

είναι οι προβολές των P, T

στην

αντίστοιχα, τότε η

είναι διάμεσος του τραπεζίου PTT'P'

και

επειδή

είναι το μέσο της BC,

θα είναι

Άρα, $\displaystyle \frac{{3BO}}{4} = \frac{{CO}}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{c=-3b}$

angvl · #3

α)
$\displaystyle M$ μέσο

$\wedge$

μέσο

$\displaystyle \Rightarrow MN=//\frac{BC}{2} \Rightarrow MNCB$ τραπέζιο.

΄Εστω

το μέσο της

.Τότε αφού

μέσο της

άρα

είναι η διάμεσος του τραπεζίου MNCB

οπότε θα είναι παράλληλη στις βάσεις του.

Eπίσης $\displaystyle EM =\frac{MB}{2} = \frac{AB}{4} \wedge PM=\frac{AM}{2}=\frac{AB}{4} \Rightarrow M$ μέσο

.

'Aρα στο τρίγωνο $\triangle PET$ έχουμε :

μέσο

$\wedge$

$\Rightarrow S$ μέσο

.

: μέσο και κάθετη.png (114.73 KiB) Προβλήθηκε 614 φορές

β)
Με αναλυτική. Απ το σχήμα του θεματοδότη έχουμε : $\displaystyle M(\frac{b}{2},\frac{a}{2}) , N(\frac{c}{2},\frac{a}{2}) , P(\frac{b}{4},\frac{3a}{4}) ,$

$\displaystyle T(\frac{3c}{4},\frac{a}{4}})$ $\displaystyle , L(\frac{b+c}{2},0)$ και αφού από το πρώτο ερώτημα

μέσο

άρα $\displaystyle S(\frac{b+3c}{8},\frac{a}{2})$ . Για να είναι $\displaystyle SL\perp BC$ άρα $SL//AO\equiv y'y$

πρέπει η ευθεία

να έχει εξίσωση $\displaystyle x=k , k\in R$ άρα πρέπει $\displaystyle x_{S} = x_{L}$ συνεπώς :

$\displaystyle \frac{b+3c}{8} = \frac{b+c}{2} \Rightarrow c = -3b$

#4

α) Ας είναι

το μέσο του

, συνεπώς το

μέσο του

και $\boxed{PF// = \frac{{MN}}{2}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Άρα στο $\vartriangle PFT$ η

ως παράλληλη στην

και διερχομένη από το μέσο

της

θα διέρχεται κι από το μέσο της

,

δηλαδή το

είναι μέσο της

.

: Μέσο και κάθετη.png (16.47 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

β) Έστω τώρα

το σημείο τομής των $MN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AO$ . Θέτω το SN = k

και θα είναι:

$\left\{ \begin{gathered} PF = 2k \hfill \\ MN = 4k \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Αν $SL \bot BC$ θα είναι $SL \bot MN$ και αφού το τετράπλευρο OLMN

είναι ισοσκελές τραπέζιο

και το τετράπλευρο OLSE

ορθογώνιο , θα είναι :

$ME = k\,\,,ES = OL = 2k,\,BO = 2ME = 2k$ και άρα : $\boxed{OC = 6k = 3OB}$ .

Με τα δεδομένα της αρχικής άσκησης με συντεταγμένες θα είναι : $\boxed{c + 3b = 0}$

Μέσο και κάθετη

Μέσο και κάθετη

Re: Μέσο και κάθετη

Re: Μέσο και κάθετη

Re: Μέσο και κάθετη

Μέλη σε σύνδεση