Ισοσκελές και καθετότητα

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1413
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ισοσκελές και καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Ιαν 13, 2020 12:24 am

Καλημέρα. Ας υποβάλω κι' εδώ θέμα διαγωνίσματος που έβαλα στο σχολείο πρόσφατα.
Ισοσκελές και καθετότητα.PNG
Ισοσκελές και καθετότητα.PNG (10.44 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC με συντεταγμένες κορυφών A(0,20)...B(-10,0) και C(10,0).

Θεωρούμε το ύψος AO και E \in AC ώστε OE \perp AC. Ι) Βρείτε τις συντεταγμένες του E .

Αν M το μέσον του OE τότε ΙΙ) Να δείξετε ότι είναι AM \perp BE.

Δεκτή κάθε λύση. Ας δώσουμε πάντως και μία με την ύλη του πρώτου κεφαλαίου (διανύσματα) ως προσφορά στον μέσο μαθητή.
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7843
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοσκελές και καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 13, 2020 2:40 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Ιαν 13, 2020 12:24 am
Καλημέρα. Ας υποβάλω κι' εδώ θέμα διαγωνίσματος που έβαλα στο σχολείο πρόσφατα.
Ισοσκελές και καθετότητα.PNG
Δίνεται τρίγωνο ABC με συντεταγμένες κορυφών A(0,20)...B(-10,0) και C(10,0).

Θεωρούμε το ύψος AO και E \in AC ώστε OE \perp AC. Ι) Βρείτε τις συντεταγμένες του E .

Αν M το μέσον του OE τότε ΙΙ) Να δείξετε ότι είναι AM \perp BE.

Δεκτή κάθε λύση. Ας δώσουμε πάντως και μία με την ύλη του πρώτου κεφαλαίου (διανύσματα) ως προσφορά στον μέσο μαθητή.
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων, Γιώργος.
Μήτσιος_1.png
Μήτσιος_1.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Είναι \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} ( οξείες με πλευρές κάθετες ) . Ας είναι T η τομή των BE,AM.

Επειδή ισοδύναμα : \dfrac{{AO}}{{BC}} = \dfrac{{OM}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{AO}}{{2OC}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}OE}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{AO}}{{2OC}} = \dfrac{{OE}}{{2EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{AO}}{{OC}} = \dfrac{{OE}}{{EC}}

Που ισχύει γιατί τα ορθογώνια τρίγωνα OAC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,EOC είναι όμοια. Άρα θα είναι όμοια

και τα τρίγωνα AOM\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCE αφού έχουν πλευρές ανάλογες και τις γωνίες που περιέχονται σ αυτές , ίσες .

Τότε όμως :\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} οπότε το τετράπλευρο ABOT είναι εγγράψιμο οπότε : \widehat {ATB} = \widehat {AOB} = 90^\circ

2ος τρόπος
Μήτσιος_2.png
Μήτσιος_2.png (17.93 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές


Φέρνω από το O παράλληλη στην BE και τέμνει την N , μέσο του EC.

Όμως έτσι NM//CB \Rightarrow NM \bot AO. Το M θα είναι ορθόκεντρο στο \vartriangle AON \Rightarrow AM \bot ON \Rightarrow AM \bot BE

Την εκπληκτική αυτή άσκηση την είδα πρώτη φορά το

1975 σε περιοδικό της Ε. Μ. Ε .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12479
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισοσκελές και καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 13, 2020 8:11 am

Κάτι παραπάνω από εκπληκτική , βλέπε εδώ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10386
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοσκελές και καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 13, 2020 10:16 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Ιαν 13, 2020 12:24 am
Καλημέρα. Ας υποβάλω κι' εδώ θέμα διαγωνίσματος που έβαλα στο σχολείο πρόσφατα.
Ισοσκελές και καθετότητα.PNG
Δίνεται τρίγωνο ABC με συντεταγμένες κορυφών A(0,20)...B(-10,0) και C(10,0).

Θεωρούμε το ύψος AO και E \in AC ώστε OE \perp AC. Ι) Βρείτε τις συντεταγμένες του E .

Αν M το μέσον του OE τότε ΙΙ) Να δείξετε ότι είναι AM \perp BE.

Δεκτή κάθε λύση. Ας δώσουμε πάντως και μία με την ύλη του πρώτου κεφαλαίου (διανύσματα) ως προσφορά στον μέσο μαθητή.
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων, Γιώργος.
Ας το δούμε και εντός φακέλου.
Ισοσκελές και καθετότητα.Μ.png
Ισοσκελές και καθετότητα.Μ.png (9.99 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές
I) Αν E(x, y) τότε \displaystyle \overrightarrow {OE}  \bot \overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow (x,y)(10, - 20) = 0 \Leftrightarrow x = 2y

\displaystyle {\overrightarrow {OE} ^2} = {\overrightarrow {OC} ^2} - {\overrightarrow {EC} ^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 100 - {(10 - x)^2} - {y^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 10x

κι επειδή x=2y, θα είναι y=4, x=8. Άρα \boxed{E(8,4)} και M(4,2).

II) \displaystyle \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BE}  = (4, - 18)(18,4) =72-72= 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {BE}


Να υπενθυμίσω ότι η άσκηση είναι από την 2η Μαθηματική Ολυμπιάδα της Σοβιετικής Ένωσης το 1962 στη Μόσχα
(2nd All Soviet Union Mathematical Olympiad).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες