Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Σεπ 22, 2019 7:54 am

Εμβαδόν  ισοσκελούς  τραπεζίου.png
Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου.png (48.88 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές
Από το σημείο S(11,-2) , φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα SA ,SB , προς τον κύκλο με εξίσωση :

x^2+y^2=25 . Σχεδιάσαμε τις - μήκους 6 εκάστη - χορδές AC , BD . Υπολογίστε το (ACBD) .

Με την ευκαιρία , υπολογίστε και την : \tan\widehat{ASB} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 22, 2019 5:06 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Σεπ 22, 2019 7:54 am
Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου.pngΑπό το σημείο S(11,-2) , φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα SA ,SB , προς τον κύκλο με εξίσωση :

x^2+y^2=25 . Σχεδιάσαμε τις - μήκους 6 εκάστη - χορδές AC , BD . Υπολογίστε το (ACBD) .

Με την ευκαιρία , υπολογίστε και την : \tan\widehat{ASB} .
Έστω A(x,y). Τότε, \displaystyle \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {SA}  = 0 \Leftrightarrow (x,y)(x - 11,y + 2) = 0 \Leftrightarrow \boxed{11x - 2y = 25}

Αλλά, \boxed{x^2+y^2=25} απ' όπου βρίσκω τις τιμές των x,y και είναι \displaystyle A(3,4),B\left( {\frac{7}{5}, - \frac{{24}}{5}} \right)
Εμβαδον ισοσκελούς τραπεζίου.K.png
Εμβαδον ισοσκελούς τραπεζίου.K.png (21.82 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές
Επειδή τώρα AC=BD=6 και τα C,D ανήκουν στον κύκλο, είναι C(-3,4), D(5,0).

\displaystyle (ACBD) = (DAC) + (DCB) = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{ - 2}&4\\ 
{ - 8}&4 
\end{array}} \right|| + \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{ - 8}&4\\ 
{ - \dfrac{{18}}{5}}&{ - \dfrac{{24}}{5}} 
\end{array}} \right|| = 12 + \frac{{132}}{5} \Leftrightarrow

\boxed{(ABCD)=\frac{192}{5}} και \displaystyle \tan 2\theta  = \dfrac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = \dfrac{{2 \cdot \dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{1}{4}}} \Leftrightarrow \boxed{\tan 2\theta  = \frac{4}{3}}


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Κυρ Σεπ 22, 2019 7:22 pm

emvadoisoskeloystrapezioy.png
emvadoisoskeloystrapezioy.png (228.32 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές
Καλησπέρα! Λίγο διαφορετικά για το πρώτο ερώτημα.Απ το παραπάνω σχήμα :

\displaystyle OS^2 = 11^2 + 2^2 = 125 \Rightarrow OS = 5\sqrt{5} \Rightarrow AS^2 = 125 - 25 = 100 \Rightarrow AS = 10.

Ο κύκλος \displaystyle (S,SA) έχει εξίσωση \displaystyle (x -11)^2 + (y+2)^2 = 100 και τέμνει τον κύκλο x^2+y^2 = 25 στα σημεία A,B.

Λύνοντας το σύστημα τον δύο παραπάνω εξισώσεων βρίσκουμε \displaystyle A(3,4) , B( \frac{7}{5} , -\frac{24}{5}) .

τα υπόλοιπα όπως του κ. visviki.


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Σεπ 23, 2019 10:53 am

Ξεκινώ χωρίς τη κατασκευή του ισοσκελούς τραπεζίου .

Αν το S έχει προβολή στον οριζόντιο άξονα το σημείο Z, Η σκυτάλη περνά στη Γεωμετρία Β Λυκείου . Ας είναι Tη τομή του κύκλου με την OZ. TZ = 11 - 5 = 6.

Από το Π. Θ. στο \vartriangle ZOS έχω: OS = \sqrt {121 + 4}  = 5\sqrt 5 , ενώ πάλι με Π. Θ. στο \vartriangle AOS έχω: SA = SB = \sqrt {125 - 25}  = 10

Ας είναι τώρα K η προβολή του A στην OZ, \vartriangle AOS \approx \vartriangle KAZ απ’ όπου προκύπτουν

AK = 4\,\,,\,\,KZ = 8\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AZ = 4\sqrt 5 .

Φέρνω από το A παράλληλη στην OZ και έστω C το άλλο σημείο τομής της με τον κύκλο . Αν M το μέσο της AC θα είναι : OM = AK = 4 \Rightarrow AC = 6.
Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου.png
Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου.png (45.49 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές
Στο παραλληλόγραμμο ACTZ, AT// = AZ = 4\sqrt 5 . Για το ύψος ,h, προς την υποτείνουσα OS του \vartriangle AOS θα ισχύει :

5\sqrt 5 h = 50 \Rightarrow 2h = 4\sqrt 5  = AB = AT συνεπώς το ATBC είναι το ισοσκελές τραπέζιο

Της εκφώνησης και \boxed{D \equiv T}. Ας είναι Fη τομή των ευθειών BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZO.

Μετά απ’ αυτά : Το παραλληλόγραμμο ACFT έχει εμβαδόν : \boxed{(ACFT) = 4 \cdot 6 = 24}

Το ισοσκελές τρίγωνο TFB : \boxed{(TFB) = \frac{1}{2}6 \cdot 6 \cdot \sin {\omega _2} = 18\sin {\omega _1} = 18 \cdot \frac{4}{5} = \frac{{72}}{5}} . άρα:

\boxed{(ACBT) = 24 + \frac{{72}}{5} = \frac{{192}}{5}}

Παρατήρηση :

1 )Το άλλο ερώτημα σαν τον Γιώργο

2 )Η με αναλυτική γεωμετρία λύση είναι απλούστερη .

Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου_αναλυτικά.png
Εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου_αναλυτικά.png (42.05 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης