Παραμετροποιημένη συνθήκη

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Παραμετροποιημένη συνθήκη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Ιούλ 26, 2019 10:15 am

Η μέγιστη τιμή της έκφρασης \displaystyle{x+2y} υπό την συνθήκη

\displaystyle  \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} ay \geq 1

ισούται με 4. Με τι ισούται η θετική τιμή της παραμέτρου a;
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Παρ Ιούλ 26, 2019 2:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1911
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Παραμετροποιημένη συνθήκη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Ιούλ 31, 2019 5:24 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 10:15 am
Η μέγιστη τιμή της έκφρασης \displaystyle{x+2y} υπό την συνθήκη

\displaystyle  \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} ay \geq 1

ισούται με 4. Με τι ισούται η θετική τιμή της παραμέτρου a;
Πρέπει και y> 0

Αν \frac{x^2+y^2}{2}<1 τότε x+2y\leq \sqrt{(x^2+y^2)(1^2+2^2)}<\sqrt{10}<4. Η μέγιστη τιμή της έκφρασης \displaystyle{x+2y} δεν μπορεί να είναι 4.

Επομένως πρέπει \frac{x^2+y^2}{2}>1

Επειδή \displaystyle  \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} ay \geq 1\Leftrightarrow x^2+y^2-2ay\leqslant  0,

ζητάμε η μέγιστη τιμή της έκφρασης \displaystyle{x+2y} να είναι 4, όταν

\frac{x^2+y^2}{2}>1 και x^2+y^2-2ay\leqslant  0

Η μόνη σχέση, τώρα με τον φάκελο, που βλέπω είναι, τελικά, η ευθεία \displaystyle{x+2y=4} να εφάπτεται στον δίσκο x^2+y^2-2ay\leqslant  0, αλλά δεν μπορώ να το αιτιολογήσω επαρκώς. :)

Αν δεν ξέφυγε κάτι a=4\sqrt{5}-8


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3207
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραμετροποιημένη συνθήκη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 31, 2019 6:46 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 5:24 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 10:15 am
Η μέγιστη τιμή της έκφρασης \displaystyle{x+2y} υπό την συνθήκη

\displaystyle  \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} ay \geq 1

ισούται με 4. Με τι ισούται η θετική τιμή της παραμέτρου a;
Πρέπει και y> 0

Αν \frac{x^2+y^2}{2}<1 τότε x+2y\leq \sqrt{(x^2+y^2)(1^2+2^2)}<\sqrt{10}<4. Η μέγιστη τιμή της έκφρασης \displaystyle{x+2y} δεν μπορεί να είναι 4.

Επομένως πρέπει \frac{x^2+y^2}{2}>1

Επειδή \displaystyle  \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} ay \geq 1\Leftrightarrow x^2+y^2-2ay\leqslant  0,

ζητάμε η μέγιστη τιμή της έκφρασης \displaystyle{x+2y} να είναι 4, όταν

\frac{x^2+y^2}{2}>1 και x^2+y^2-2ay\leqslant  0

Η μόνη σχέση, τώρα με τον φάκελο, που βλέπω είναι, τελικά, η ευθεία \displaystyle{x+2y=4} να εφάπτεται στον δίσκο x^2+y^2-2ay\leqslant  0, αλλά δεν μπορώ να το αιτιολογήσω επαρκώς. :)

Αν δεν ξέφυγε κάτι a=4\sqrt{5}-8
Δεν ξέφυγε κάτι Κώστα.
Για να δούμε μια δικαιολόγηση με ακροβατικό.

Είναι

\displaystyle x+2y=x+2(y-a)+2a\leq (1+2^{2})^{\frac{1}{2}}(x^{2}+(y-a)^{2})^{\frac{1}{2}}+2a\leq \sqrt{5}a+2a=a(2+\sqrt{5})

θέλουμε a(2+\sqrt{5})=4

που δίνει a=4\sqrt{5}-8

Το μέγιστο πιάνεται για x=\frac{a}{\sqrt{5}},y=a+\frac{2a}{\sqrt{5}},


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραμετροποιημένη συνθήκη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Αύγ 01, 2019 12:06 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 5:24 pm

Η μόνη σχέση, τώρα με τον φάκελο, που βλέπω είναι, τελικά, η ευθεία \displaystyle{x+2y=4} να εφάπτεται στον δίσκο x^2+y^2-2ay\leqslant  0, αλλά δεν μπορώ να το αιτιολογήσω επαρκώς. :)
Η επιλογή του φακέλου ήταν ένα είδος υπόδειξης :D , πιθανόν άστοχη, το προβλημά ανήκει κανονικά στην γενικότερη ύλη της Β' Λυκείου.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1911
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Παραμετροποιημένη συνθήκη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Αύγ 01, 2019 5:09 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Αύγ 01, 2019 12:06 pm
rek2 έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 5:24 pm

Η μόνη σχέση, τώρα με τον φάκελο, που βλέπω είναι, τελικά, η ευθεία \displaystyle{x+2y=4} να εφάπτεται στον δίσκο x^2+y^2-2ay\leqslant  0, αλλά δεν μπορώ να το αιτιολογήσω επαρκώς. :)
Η επιλογή του φακέλου ήταν ένα είδος υπόδειξης :D , πιθανόν άστοχη, το προβλημά ανήκει κανονικά στην γενικότερη ύλη της Β' Λυκείου.
OK!!

Zητάμε η μέγιστη τιμή της έκφρασης \displaystyle{x+2y} να είναι 4, όταν

\frac{x^2+y^2}{2}>1 και x^2+y^2-2ay\leqslant  0

O κύκλος \frac{x^2+y^2}{2}=1 βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που οριζει η ευθεία x+2y=4 στο οποίο x+2y<4

Στο ίδιο ημιεπίπεδο πρέπει να βρήσκεται και ο δίσκος x^2+y^2-2ay\leqslant  0 και μάλιστα πρέπει να εφάπτεται με την ευθεία x+2y=4, αφού αν έχει σημεία στο άλλο ημιεπίπεδο θα είναι x+2y>4, θα είχαμε τιμές, δηλαδή, μεγαλύτερες του 4. Το μέγιστο θα είναι στο σημείο επαφής.

Η συνθήκη, τώρα, επαφής του κύκλου x^2+y^2-2ay = 0 και της ευθείας x+2y=4 δίνει την ζητούμενη τιμή του α.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραμετροποιημένη συνθήκη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Αύγ 01, 2019 8:37 pm

Τα ίδια, αλλά πιο γεωμετρικά για να μην πάει ο φάκελος χαμένος και στην πρώτη περίπτωση που 0 < \dfrac{x^2+y^2}{2} < 1 , y > 0:

Έχουμε ισοδύναμα τις συνθήκες για τα x,y

\left\{\begin{matrix} 
0 < x^2+y^2 < \left ( \sqrt{2} \right )^2 
\\  
0 < y < \sqrt{2} 
\end{matrix}\right.,

που ορίζουν το εσωτερικό ενός ημικυκλίου. Αν υπήρχαν (x,y) για τα οποία x+2y=4, τότε η ευθεία x+2y-4=0 και το παραπάνω ημικύκλιο θα είχαν κοινά σημεία. Αυτό όμως είναι αδύνατο, αφού η απόσταση d του κέντρου του ημικυκλιού από την ευθεία είναι

d = \dfrac{\left | 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 -4 \right | }{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}} > \sqrt{2}

μεγαλύτερη από την ακτίνα του.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες