Κορυφές τετραγώνου

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

Δίνεται τετράγωνο ABCD

με

και

.
Να βρεθούν:
ι) Το εμβαδόν του τετραγώνου ABCD

.
ιι) Οι συντεταγμένες των κορυφών του

και

.
ιιι) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ισοδύναμα σχήματα.

#2

NIZ έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 24, 2019 4:38 pm
Δίνεται τετράγωνο με και .
Να βρεθούν:
ι) Το εμβαδόν του τετραγώνου .
ιι) Οι συντεταγμένες των κορυφών του και .
ιιι) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ισοδύναμα σχήματα.

Καλησπέρα Νίκο!

: Κορυφές τετραγώνου.NIZ.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 1537 φορές

ι) Αν

είναι η πλευρά του τετραγώνου τότε $\displaystyle A{C^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{a^2=(ABCD)=26}$

ιι) Το κέντρο του τετραγώνου είναι M(1,1).

Η

διέρχεται από το

και είναι κάθετη στην AC,

οπότε $\displaystyle {\lambda _{BD}} = \frac{3}{2}$

και $\displaystyle BD:3x - 2y - 1 = 0.$ Επιπλέον, $\displaystyle {({x_B} - 1)^2} + {({y_B} - 1)^2} = {({x_D} - 1)^2} + {({y_D} - 1)^2} = 13$

και σε συνδυασμό με την εξίσωση της

βρίσκουμε $\displaystyle B(3,4),D( - 1, - 2)$ (ή και αντίστροφα)

ιιι) Το M(1,1)

είναι κέντρο συμμετρίας του τετραγώνου και όποια ευθεία διέρχεται από αυτό χωρίζει το τετράγωνο σε δύο

ισοδύναμα σχήματα. Έτσι η ζητούμενη ευθεία είναι η $\boxed{y=x}$

christinat · #3

$\vec{AB}*\vec{BC}=0\Rightarrow (x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{B},y_{C}-y_{B})=0\Rightarrow (x_{B}+2,y_{B}-3)(4-x_{B},-1-y_{B})=0\Rightarrow x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-2x_{B}-2y_{B}-11=0$ (1)

$\left | \vec{AB} \right |=\left | \vec{BC} \right |\Rightarrow \sqrt{(x_{B}+2)^{2}+(y_{B}-3)^{2}}=\sqrt{(4-x_{B})^{2}+(y_{B}+1)^{2}}\Rightarrow 12x_{B}-8y_{B}=4$ (2)

Από τις σχέσεις (1)-(2) προκύπτει ότι $x_{B}=3$ ή $x_{B}=-1$

Από την (2) είναι $y_{B}=4$ ή $y_{B}=-2$

Οποτε B=(3,4)

ή

Όμως

,

είναι οι διαγώνιου του τετραγώνου ABCD

Άρα $(ABCD)=2(ABC)=\left | det(\vec{AB},\vec{AC}) \right |=\left | \begin{bmatrix}x_{B}+2 & y_{B}-3\\ 6 & -4=26 \end{bmatrix} \right |=\left | -4x_{B}-6y_{B}+10 \right |=26$ τ.μ

$(ADC)=13\Rightarrow \left | -4x_{D}-6y_{D}+10 \right |=26$

Οποτε $-4x_{D}-6y_{D}+10=26$ (3) ή $-4x_{D}-6y_{D}+10=-26$ (4)

Επίσης $\vec{AD}\perp \vec{AB}\Rightarrow \vec{AD}*\vec{AB}=0\Rightarrow (x_{D}+2,y_{D}-3)*(5,1)=0 \Rightarrow 5x_{D}+y_{D}=-7$ (5)

Από (3)-(5) προκύπτει ότι $x_{D}=-3$ και $y_{D}=8$

Από (4)-(5) εχουμε $x_{D}=-1$ και $y_{D}=-2$

Όμως μπορεί να ισχύει D=(-1,-2)

ή

Οποτε

και

Οι διαγώνιοι

,

διχοτομουνται κάθετα στο κέντρο K του τετραγώνου ABCD

Άρα $x_{K}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$
$y_{K}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$
Οποτε K=(1,1)

Αφού η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα είναι της μορφής E:y=ax

Όμως η ευθεία διέρχεται από το Κ
Άρα E:y=x

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #4

Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα “christinat” - Χριστίνα (;).
Η άσκηση είναι σχεδόν το Δ θέμα από τις φετινές προαγωγικές του σχολείου μου - δεν ζητούσαμε την εύρεση της ευθείας που χωρίζει το τετράγωνο σε ισοδύναμα σχήματα.
Το πιο δύσκολο ερώτημα ήταν ο προσδιορισμός των δύο άλλων κορυφών του τετραγώνου. Η λύση που είχα ήταν αυτή που έδωσε ο Γιώργος. Η λύση όμως τον παιδιών -δύο την έλυσαν πλήρως και τρεις δεν την ολοκλήρωσαν , λάθη σε πράξεις – ήταν στη λογική της λύσης του/της “christinat”.

christinat έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 25, 2019 1:21 pm
$\vec{AB}\perp \vec{BC}\Rightarrow \vec{AB}*\vec{BC}=0\Rightarrow (x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A})=0\Rightarrow x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-2x_{B}-2y_{B}-11=0$ (1)

$\left | \vec{AB} \right |=\left | \vec{BC} \right |\Rightarrow \sqrt{(x_{B}+2)^{2}+(y_{B}-3)^{2}}=\sqrt{(4-x_{B})^{2}+(y_{B}+1)^{2}}\Rightarrow 12x_{B}-8y_{B}=4$ (2)

Από τις σχέσεις (1)-(2) προκύπτει ότι

Δεκτή είναι μόνο η $x_{B}=3$

" cgristinat " υπάρχει ένα "τυπογραφικό" στην πρώτη γραμμή και προφανώς κάποιο λάθος στις πράξεις στη λύση του συστήματος, γιατί
προκύπτει ότι $x_{B}=3$ ή $x_{B}=-1$
Φυσικά δεν απορρίπτεται καμμία λύση , γιατί η μία τιμή είναι η τετμημένη του

και η άλλη του

.
Τα υπόλοιπα , για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των κορυφών

και

, δεν χρειάζονται.
Από την ηλικία σου συμπεραίνω ότι θα πας Γ' Λυκείου, οπότε σου εύχομαι καλή δύναμη!

christinat · #5

NIZ έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 26, 2019 1:31 pm
Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα “christinat” - Χριστίνα (;).
Η άσκηση είναι σχεδόν το Δ θέμα από τις φετινές προαγωγικές του σχολείου μου - δεν ζητούσαμε την εύρεση της ευθείας που χωρίζει το τετράγωνο σε ισοδύναμα σχήματα.
Το πιο δύσκολο ερώτημα ήταν ο προσδιορισμός των δύο άλλων κορυφών του τετραγώνου. Η λύση που είχα ήταν αυτή που έδωσε ο Γιώργος. Η λύση όμως τον παιδιών -δύο την έλυσαν πλήρως και τρεις δεν την ολοκλήρωσαν , λάθη σε πράξεις – ήταν στη λογική της λύσης του/της “christinat”.

christinat έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 25, 2019 1:21 pm
$\vec{AB}\perp \vec{BC}\Rightarrow \vec{AB}*\vec{BC}=0\Rightarrow (x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A})=0\Rightarrow x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-2x_{B}-2y_{B}-11=0$ (1)

$\left | \vec{AB} \right |=\left | \vec{BC} \right |\Rightarrow \sqrt{(x_{B}+2)^{2}+(y_{B}-3)^{2}}=\sqrt{(4-x_{B})^{2}+(y_{B}+1)^{2}}\Rightarrow 12x_{B}-8y_{B}=4$ (2)

Από τις σχέσεις (1)-(2) προκύπτει ότι

Δεκτή είναι μόνο η $x_{B}=3$

" cgristinat " υπάρχει ένα "τυπογραφικό" στην πρώτη γραμμή και προφανώς κάποιο λάθος στις πράξεις στη λύση του συστήματος, γιατί
προκύπτει ότι $x_{B}=3$ ή $x_{B}=-1$
Φυσικά δεν απορρίπτεται καμμία λύση , γιατί η μία τιμή είναι η τετμημένη του και η άλλη του .
Τα υπόλοιπα , για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των κορυφών και , δεν χρειάζονται.
Από την ηλικία σου συμπεραίνω ότι θα πας Γ' Λυκείου, οπότε σου εύχομαι καλή δύναμη!

Όντως είχε γίνει τυπογραφικό στην πρώτη γραμμή,το διόρθωσα
Επίσης είχα βρει $x_{B}=\frac{-1}{2}$ γιατί είχα κάνει ένα μικρό λαθος(απροσεξίας στις πράξεις)
Το "απορρίπτεται"το χρησιμοποιησα καταχρηστικά,γιατί έπρεπε να καταλήξω σε μια μόνο λυση για τις συντεταγμένες του B και του D...
Παρόμοια άσκηση είχε πέσει και σε εμάς(στην Ιωνιδειο) ως θεμα Γ στις τελικές εξετάσεις
Τέλος πάντων...Γ'Λυκειου θα πάω και ευχαριστώ για τις ευχές

Κορυφές τετραγώνου

Κορυφές τετραγώνου

Re: Κορυφές τετραγώνου

Re: Κορυφές τετραγώνου

Re: Κορυφές τετραγώνου

Re: Κορυφές τετραγώνου

Μέλη σε σύνδεση