Κύκλος και ευθεία

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Κύκλος και ευθεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιουν 01, 2019 9:18 pm

  1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου (\mathcal{C}) ο οποίος εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες συντεταγμένων \mathrm{O}x και \mathrm{O}y και το σημείο επαφής του με τον θετικό ημιάξονα \mathrm{O}x είναι το \mathrm{A}(2, 0).
  2. Αν ο πιο πάνω κύκλος έχει εξίσωση x^2+y^2-4x-4y+4=0 να δειχθεί ότι η εξίσωση της εφαπτομένης (\varepsilon) του κύκλου σε τυχαίο σημείο \mathrm{T} \left ( 2+2\cos \theta, 2 + 2 \sin \theta \right ) \; , \; \theta \in \left(0, \frac{\pi}{2} \right) είναι \displaystyle{x \cos \theta + y \sin \theta = 2 \cos \theta + 2 \sin \theta + 2 }.
  3. Η εφαπτομένη (\varepsilon) τέμνει τον άξονα των τετμημένων x'x στο σημείο \mathrm{B} και η ευθεία \mathrm{TA} τέμνει τον άξονα των τεταγμένων y'y στο σημείο \Gamma. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου \mathrm{M} του ευθυγράμμου τμήματος \mathrm{B} \Gamma.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Κύκλος και ευθεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιουν 02, 2019 7:47 pm

Διορθώθηκε τυπογραφικό στην εξίσωση του κύκλου ! Ευχαριστώ τους Χάρη Τιουρινγκ και Νίκο Φραγκάκη για την επισήμανση !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 287
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Κύκλος και ευθεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιουν 07, 2019 1:09 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Ιουν 01, 2019 9:18 pm
  1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου (\mathcal{C}) ο οποίος εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες συντεταγμένων \mathrm{O}x και \mathrm{O}y και το σημείο επαφής του με τον θετικό ημιάξονα \mathrm{O}x είναι το \mathrm{A}(2, 0).
  2. Αν ο πιο πάνω κύκλος έχει εξίσωση x^2+y^2-4x-4y+4=0 να δειχθεί ότι η εξίσωση της εφαπτομένης (\varepsilon) του κύκλου σε τυχαίο σημείο \mathrm{T} \left ( 2+2\cos \theta, 2 + 2 \sin \theta \right ) \; , \; \theta \in \left(0, \frac{\pi}{2} \right) είναι \displaystyle{x \cos \theta + y \sin \theta = 2 \cos \theta + 2 \sin \theta + 2 }.
  3. Η εφαπτομένη (\varepsilon) τέμνει τον άξονα των τετμημένων x'x στο σημείο \mathrm{B} και η ευθεία \mathrm{TA} τέμνει τον άξονα των τεταγμένων y'y στο σημείο \Gamma. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου \mathrm{M} του ευθυγράμμου τμήματος \mathrm{B} \Gamma.
Καλημέρα!

i) Το κέντρο του κύκλου πρέπει να ισαπέχει από τους θετικούς ημιάξονες και επειδή το σημείο επαφής του με τον θετικό ημιάξονα \mathrm{O}x είναι το \mathrm{A}(2, 0) θα έχει κέντρο το O(2,2) και εξίσωση (x-2)^2+(y-2)^2=4
ii)
Αρχικά παρατηρούμε πως το T είναι σημείο του κύκλου αφού 4\cos^2\vartheta +4\sin^2\vartheta =4

Η OT έχει συντελεστή διεύθυνσης \dfrac{\sin\vartheta }{cos\vartheta }.
Άρα η εφαπτομένη στο T θα έχει εξίσωση : y-(2+2\sin\vartheta )=\left ( x-(2+2\cos\vartheta ) \right )\cdot \dfrac{-\cos\vartheta }{\sin\vartheta }\Leftrightarrow y\sin\vartheta -2\sin\vartheta -2\sin^2\vartheta =-x\cos\vartheta +2\cos\vartheta +...2\cos^2\vartheta \Leftrightarrow y\sin\vartheta +x\cos\vartheta =2\cos\vartheta +2\sin\vartheta +2

iii)
To B ανήκει στην \varepsilon και στο x'x άρα θα έχει συντεταγμένες B\left ( \dfrac{2\cos\vartheta +2\sin\vartheta +2}{\cos\vartheta },0 \right )

Το \Gamma ανήκει στην AT και στον y'y άρα θα έχει συντεταγμένες \Gamma \left ( 0,-\dfrac{2\sin\vartheta +2}{\cos\vartheta } \right )

Είναι M\left ( \dfrac{x_B}{2},\dfrac{y_\Gamma }{2} \right ) άρα M\left ( 1+\dfrac{\sin\vartheta +1}{\cos\vartheta },-\dfrac{\sin\vartheta +1}{\cos\vartheta } \right )
Από όπου το M κινήται στην ευθεία y=-x+1
Συνημμένα
58.PNG
58.PNG (35.6 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης