Καλησπέρα σε όλους. Δίνω αναλυτικά τη λύση που περιγράφει ο
Χρήστος παραπάνω και απαντώ στο ερώτημά του με διαφορετικό τρόπο από τον
Λάμπρο.
Θα δείξουμε ότι οι κύκλοι της οικογένειας
(1) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.
Έστω ότι υπάρχει σημείο
, που είναι κοινό δύο κύκλων της οικογενείας (1) με
.
Τότε είναι
Αφαιρώντας κατά μέλη, προκύπτει
.
Αντικαθιστώντας την τιμή του
στην πρώτη είναι
, οπότε
.
Άρα το
είναι το μοναδικό κοινό σημείο όλων των κύκλων της (1).
Στο σημείο αυτό έχουν εφαπτομένη την ευθεία
.
H
χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα, το
με
, που περιέχει το
, καθώς και το
με
.
Οι συντεταγμένες του κέντρου
κάθε κύκλου της (1) είναι
Το
, άρα και ολόκληρος ο κύκλος, εκτός του σημείου
, βρίσκεται στο ημιεπίπεδο
αν
και στο
αν
, οπότε όλοι οι κύκλοι της (1) με
ή όλοι οι κύκλοι της (1) με
εφάπτονται εσωτερικά. Διαφορετικά, εφάπτονται εξωτερικά.
ΣΧΟΛΙΟ:
Για διδακτικούς λόγους, ανάλογα με τους μαθητές στους οποίους απευθυνόμαστε, θα μπορούσαμε αρχικά να δείξουμε ότι οι κύκλοι της οικογένειας
(1) διέρχονται από ένα σημείο.
Για να το δείξουμε αυτό, αρκεί να βρούμε ένα σημείο
του οποίου οι συντεταγμένες να επαληθεύουν την (1) για όλες τις τιμές του
. Το ζητούμενο σημείο θα είναι εκείνο του οποίου οι συντεταγμένες μηδενίζουν τις παραστάσεις
και
, δηλαδή η λύση του συστήματος
, που είναι
.
Άρα όλοι οι κύκλοι διέρχονται από το σημείο
.
Κατόπιν αποδεικνύουμε ότι οι κύκλοι της οικογένειας (1) δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο κ.ο.κ.