Η τρίτη κορυφή

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η τρίτη κορυφή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 17, 2019 9:26 pm

Η  τρίτη  κορυφή.png
Η τρίτη κορυφή.png (8.61 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές
\bigstarΤου ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου SOT , η κορυφή S της ορθής γωνίας

κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : x+3y-6=0 , ενώ η κορυφή O είναι

η αρχή των αξόνων . Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της τρίτης κορυφής T .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6567
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η τρίτη κορυφή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 20, 2019 1:35 am

Ας είναι A,B τα σημεία που η σταθερή δεδομένη ευθεία τέμνει τον κατακόρυφο και τον οριζόντιο άξονα αντίστοιχα

Αν γράψω τον κύκλο (O,S,T) , θα κόψει τη σταθερή ευθεία που δόθηκε σε σημείο D. Επειδή \widehat {ADO} = 45^\circ . το σημείο D προσδιορίζεται ως εξής :
η τρίτη κορυφή_Ευκλείδεια λύση.png
η τρίτη κορυφή_Ευκλείδεια λύση.png (26.19 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές
Θεωρώ το σταθερό ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με υποτείνουσα την OA.

Ο περιγεγραμμένος του κύκλος θα κόψει τη σταθερή δεδομένη ευθεία στο σταθερό D.

Κατά συνέπεια ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία η κάθετη στην OD στο σημείο D.


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Η τρίτη κορυφή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μάιος 20, 2019 5:42 pm

Doloros έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 1:35 am
Ας είναι A,B τα σημεία που η σταθερή δεδομένη ευθεία τέμνει τον κατακόρυφο και τον οριζόντιο άξονα αντίστοιχα

Αν γράψω τον κύκλο (O,S,T) , θα κόψει τη σταθερή ευθεία που δόθηκε σε σημείο D. Επειδή \widehat {ADO} = 45^\circ . το σημείο D προσδιορίζεται ως εξής :

η τρίτη κορυφή_Ευκλείδεια λύση.png

Θεωρώ το σταθερό ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με υποτείνουσα την OA.

Ο περιγεγραμμένος του κύκλος θα κόψει τη σταθερή δεδομένη ευθεία στο σταθερό D.

Κατά συνέπεια ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία η κάθετη στην OD στο σημείο D.
Χριστός Ανέστη!

Συγκεκριμένα ο γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία y=-2x+6

Δίνω την λύση μου:

Έστω S(x_0,y_0) ,T(x_1,y_1).

Η ευθεία OS έχει εξίσωση y=\dfrac{y_0}{x_0}x (αφού το ζεύγος (x_0,y_0) την επαληθεύει.)

Επειδή OS\perp ST η κλίση της ST θα είναι -\dfrac{x_0}{y_0} και επειδή

y_0=-\dfrac{x_0}{y_0}x_0+y_0+\dfrac{x_0}{y_0}x_0 η ST θα είναι η y=-\dfrac{x_0}{y_0}x+\dfrac{x_0^2+y_0^2}{y_0}

Αν a η κλίση της OT θα είναι a=\tan(\vartheta -45)=\dfrac{y_0-x_0}{y_0+x_0}

Οι συντεταγμένες του T είναι η τομή των OT,ST :

\dfrac{y_0-x_0}{y_0+x_0}x_1=\dfrac{-x_0}{y_0}x_1+\dfrac{y_0^2+x_0^2}{y_0}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x_1=x_0+y_0,y_1=y_0-x_0

Όμως y_0=-\dfrac{1}{3}x_0+2 και έτσι x_1=\dfrac{2}{3}x_0+2,y_1=-\dfrac{4}{3}x_0+2
Βλέπουμε πως \boxed{y_1=-2x_1+6}.
Συνημμένα
Capture94.PNG
Capture94.PNG (29.26 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8152
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η τρίτη κορυφή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 21, 2019 11:06 am

Τι συμβαίνει αν το T βρίσκεται πάνω από την ευθεία x+3y-6=0;


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Η τρίτη κορυφή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Μάιος 21, 2019 6:24 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Μάιος 21, 2019 11:06 am
Τι συμβαίνει αν το T βρίσκεται πάνω από την ευθεία x+3y-6=0;
Έστω T'(x_2,y_2) το συμμετρικό του T ως προς το S (δηλαδή το T εαν αυτό είναι πάνω από την x+3y-6=0.

\left\{\begin{matrix} & x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{x_0+y_0+x_2}{2} & \\ \\ & x_0=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{y_0-x_0+y_2}{2} & \\ & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x_2=x_0-y_0 & \\ & y_2=x_0+y_0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow y_2=\dfrac{1}{2}x_2+3

Άρα ο γεωμετρικός τόπος του T' είναι η y=\dfrac{1}{2}x+3.
Συνημμένα
51.PNG
51.PNG (30.65 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8152
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η τρίτη κορυφή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 21, 2019 6:34 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τρί Μάιος 21, 2019 6:24 pm
george visvikis έγραψε:
Τρί Μάιος 21, 2019 11:06 am
Τι συμβαίνει αν το T βρίσκεται πάνω από την ευθεία x+3y-6=0;
Έστω T'(x_2,y_2) το συμμετρικό του T ως προς το S (δηλαδή το T εαν αυτό είναι πάνω από την x+3y-6=0.

\left\{\begin{matrix} & x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{x_0+y_0+x_2}{2} & \\ \\ & x_0=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{y_0-x_0+y_2}{2} & \\ & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x_2=x_0-y_0 & \\ & y_2=x_0+y_0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow y_2=\dfrac{1}{2}x_2+3

Άρα ο γεωμετρικός τόπος του T' είναι η y=\dfrac{1}{2}x+3.

Ακριβώς! :coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης