Ορθογώνιοι μπελάδες

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10618
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθογώνιοι μπελάδες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 17, 2019 1:21 pm

Ορθογώνιοι  μπελάδες.png
Ορθογώνιοι μπελάδες.png (6.8 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές
Πώς θα εντοπίσουμε το σημείο S , ώστε : SA=2SA' .

Ο Απολλώνιος βρίσκεται προ πολλού στην Β' Εθνική :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8077
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθογώνιοι μπελάδες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 17, 2019 2:06 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 17, 2019 1:21 pm
Ορθογώνιοι μπελάδες.pngΠώς θα εντοπίσουμε το σημείο S , ώστε : SA=2SA' .

Ο Απολλώνιος βρίσκεται προ πολλού στην Β' Εθνική :lol:
Ορθογώνιοι Μπελάδες.K.png
Ορθογώνιοι Μπελάδες.K.png (11.51 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές
Παίρνω επί της OA' σημείο P ώστε OP=\dfrac{a}{3}. Η AP τέμνει τον περίκυκλο του OAA' στο ζητούμενο σημείο S.

Απόδειξη: \displaystyle \tan \omega  = \tan (45^\circ  - \varphi ) = \frac{{1 - \tan \varphi }}{{1 + \tan \varphi }} = \frac{{1 - \frac{1}{3}}}{{1 + \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \boxed{SA=2SA'}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ορθογώνιοι μπελάδες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Απρ 17, 2019 9:33 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ουσιαστικά δεν λέω κάτι διαφορετικό από τον Γιώργο, (κοιτώντας εκ των υστέρων τη λύση του Γιώργου).

Γράφω την απάντησή μου με τη διατύπωση που συνηθίζαμε ως μαθητές γυμνασίου (γύρω στο 1977-78) σε προβλήματα κατασκευής.

Γνωρίζει ή θυμάται κανείς, πότε και πώς (μη ρωτήσω και γιατί...) χάθηκαν οι γεωμετρικές κατασκευές από την ύλη μας;


17-04-2019 Γεωμετρία.jpg
17-04-2019 Γεωμετρία.jpg (29.21 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές

Ανάλυση:
Έστω ότι εντοπίσαμε το ζητούμενο σημείο. Η SA τέμνει την A’O στο K.
Τότε στο SAA’ είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi {{\rm A}_2} = \frac{1}{2} , οπότε  \displaystyle \varepsilon \varphi {{\rm A}_1} = \varepsilon \varphi \left( {45^\circ  - {{\rm A}_2}} \right) = \frac{{1 - \frac{1}{2}}}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{3} , άρα  \displaystyle {\rm O}{\rm K} = \frac{1}{3}OA .

Κατασκευή:
Παίρνουμε σημείο K στην OA ώστε  \displaystyle {\rm O}{\rm K} = \frac{1}{3}OA .
Φέρνουμε κάθετη από το A’ που τέμνει την προέκταση της OK στο ζητούμενο σημείο S.

Απόδειξη:
Το ABC είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα  \displaystyle \widehat A = 45^\circ . Επίσης στο KOA είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi {{\rm A}_1}\frac{1}{3} , άρα  \displaystyle \varepsilon \varphi {{\rm A}_2} = \varepsilon \varphi \left( {45^\circ  - {{\rm A}_1}} \right) = \frac{{1 - \frac{1}{3}}}{{1 + \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2} , οπότε  \displaystyle SA = 2SA' .

Διερεύνηση:
Το σημείο Κ στο εσωτερικό του OA και το S είναι μοναδικά, οπότε το πρόβλημα έχει (πάντα) μοναδική λύση.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιοι μπελάδες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Απρ 17, 2019 9:44 pm

Ανάλυση :

Φέρνω τη διάμεσο A'M του \vartriangle A'OA που τέμνει την SA στο T . Τα ορθογώνια τρίγωνα SA'A\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OMA'\,\, είναι όμοια γιατί έχουν λόγο καθέτων πλευρών 2.

Αφού δε το τετράπλευρο OAA'S είναι εγγράψιμο , θα έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Ορθογώνιοι μπελάδες.png
Ορθογώνιοι μπελάδες.png (22.96 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές
Ενώ οποιαδήποτε από τις \widehat \omega μαζί με οποιαδήποτε από τις \widehat a είναι 45^\circ .

Μετά απ’ αυτά : SO//A'M και από την ομοιότητα των τριγώνων A'MA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASO

Έχω \boxed{\sqrt 2  = \frac{{A'A}}{{A'O}} = \frac{{TA}}{{SO}} = \frac{{ST}}{{SO}} \Rightarrow OT \bot TM}

Κατασκευή:

Φέρνω τη διάμεσο A'M και OT \bot A'M. Η από το A' κάθετη στην AT την τέμνει στο S


Προς Θεματοδότη :

Μηδενί συμφοράν ονειδίσης. Κοινή γαρ η τύχη και το μέλλον αόρατον.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 159
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ορθογώνιοι μπελάδες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Απρ 18, 2019 10:16 am

AO
Καλημέρα,

Κατασκευή:
Προεκτείνουμε την AO κατά τμήμα OB=a. Παίρνουμε το μέσο M της A'B. Το ζητούμενο σημείο S
είναι η τομή της AM με τον περίκυκλο του \bigtriangleup A'OA.

Ανάλυση:
\dfrac{1}{2}=\dfrac{A'S}{AS}=tan\phi=\dfrac{A'M}{A'A}=\dfrac{A'M}{A'B}
Συνημμένα
ορθογωνιοι μπελαδες.png
ορθογωνιοι μπελαδες.png (11.37 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιοι μπελάδες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 18, 2019 12:02 pm

Έστω D σημείο της σταθερής υποτείνουσας AA' για το οποίο : AD = 2DA' .

Έστω ακόμα K, η προβολή του σταθερού D στη σταθερή OA'.

Το ημικύκλιο διαμέτρου AA' με τον κύκλο (K,KD) τέμνονται , εκτός του A',

στο ζητούμενο σημείο S.
Ορθογώνιοι μπελάδες_new.png
Ορθογώνιοι μπελάδες_new.png (18.07 KiB) Προβλήθηκε 265 φορές

Απόδειξη:

Προφανώς \boxed{\widehat {ASA'} = 90^\circ } και αφού \boxed{\widehat \theta  = \frac{1}{2}\widehat {DKA'} = 45^\circ } η SD είναι διχοτόμος στο \vartriangle SAA', οπότε : SA = 2SA'


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιοι μπελάδες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 18, 2019 12:44 pm

Παραλλαγή της πιο πάνω.

Ορθογώνιοι μπελάδες_new_new.png
Ορθογώνιοι μπελάδες_new_new.png (10.59 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές
Έστω σημείο D στην AA' έτσι ώστε : AD = 2DA'.. Η κάθετη στο D επί την AA' τέμνει τις ευθείες OA'\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,OA στα H\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G.

Η τομή των AH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,GA' ορίζει το S.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10618
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ορθογώνιοι μπελάδες

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 18, 2019 12:48 pm

Μπελάδες.png
Μπελάδες.png (8.35 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές
Ένας μαθητής πρότεινε την κατασκευή του σχήματος . Έχει δίκιο ;


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιοι μπελάδες

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 18, 2019 1:23 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 18, 2019 12:48 pm
Μπελάδες.pngΈνας μαθητής πρότεινε την κατασκευή του σχήματος . Έχει δίκιο ;
Extra μπελάδες.png
Extra μπελάδες.png (12.19 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές

Ναι γιατί τα τρίγωνα SAA' και TOS είναι όμοια


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1601
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογώνιοι μπελάδες

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Απρ 18, 2019 8:28 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 17, 2019 1:21 pm
Ορθογώνιοι μπελάδες.pngΠώς θα εντοπίσουμε το σημείο S , ώστε : SA=2SA' .

Ο Απολλώνιος βρίσκεται προ πολλού στην Β' Εθνική :lol:

Στην μεσοκάθετη της \displaystyle AA' θεωρούμε σημείο \displaystyle K με \displaystyle MK = \frac{{MA}}{2}\displaystyle AK τέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο σημείο \displaystyle S

Λόγω της ομοιότητας των \displaystyle \vartriangle A'SA,MKA \Rightarrow SA' = \frac{{SA}}{2}
ορθογώνιοι μπελάδες.png
ορθογώνιοι μπελάδες.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ορθογώνιοι μπελάδες

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Απρ 19, 2019 12:11 pm

Καλημέρα στην δυνατή παρέα! Για την εν λόγω κατασκευή , άλλος .. :) ..μαθητής μας έβαλε ένα ακόμη "μπελά"
Νέος ..μπελάς.PNG
Νέος ..μπελάς.PNG (9.6 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Στο σχήμα το M είναι το μέσον του OA και OE=\dfrac{OA}{5} .

Η παράλληλη από το O προς την A'M και η παράλληλη από το E προς την AA' τέμνονται στο S.

Είναι άραγε το S το αρχικό ζητούμενο , όπως ισχυρίζεται ο μαθητής;
Φιλικά , Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης