Συναισθηματική σταθερότητα

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10747
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συναισθηματική σταθερότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 03, 2019 9:13 am

Συναισθηματική  σταθερότητα.png
Συναισθηματική σταθερότητα.png (9.25 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές
Σημείο P κινείται στον ημιάξονα Ox . Με υποτείνουσα την OP σχεδιάζουμε στο πρώτο

τεταρτημόριο , ορθογώνιο τρίγωνο TOP , με \widehat{POT}=60^0 . Η μεσοκάθετη της PT

τέμνει την σταθερή ευθεία y=k στο σημείο Q , ενώ η μεσοκάθετη του TQ τέμνει

τον Ox στο σημείο S . Δείξτε ότι το S είναι σταθερό και βρείτε το k , αν S(4,0) .



Λέξεις Κλειδιά:
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 283
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Συναισθηματική σταθερότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Κυρ Φεβ 03, 2019 11:24 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Φεβ 03, 2019 9:13 am
Συναισθηματική σταθερότητα.pngΣημείο P κινείται στον ημιάξονα Ox . Με υποτείνουσα την OP σχεδιάζουμε στο πρώτο

τεταρτημόριο , ορθογώνιο τρίγωνο TOP , με \widehat{POT}=60^0 . Η μεσοκάθετη της PT

τέμνει την σταθερή ευθεία y=k στο σημείο Q , ενώ η μεσοκάθετη του TQ τέμνει

τον Ox στο σημείο S . Δείξτε ότι το S είναι σταθερό και βρείτε το k , αν S(4,0) .
Έστω ότι P(m,0)
Είναι \lambda_{OT}=tan 60^o = \sqrt3 και η εξίσωση της OT είναι y=\sqrt3 x.
Επειδή η PT είναι κάθετη στην OT είναι
\lambda_{PT}=-\frac{\sqrt3}{3} και η εξίσωση της PT είναι y=-\frac{\sqrt3}{3} x +\frac{m\sqrt3}{3}
Άρα λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών PT και OT
βρίσκουμε ότι T(\frac{m}{4}, \frac{m\sqrt3}{4}) και οι συντεταγμένες του μέσου M του PT είναι M(\frac{5m}{8},\frac{m\sqrt3}{8})
Η εξίσωση της MQ που είναι κάθετη στη TP είναι y-\frac{m\sqrt3}{8}=\sqrt3(x-\frac{5m}{8}) και το Q, σημείο τομής αυτής με την y=k, έχει συντεταγμένες Q(\frac{2k\sqrt3 +3m}{6},k)
και \lambda_{QT}=\frac{\sqrt3(4k-m\sqrt3}{4k+m\sqrt3}
To N είναι το μέσο του TQ οπότε N(\frac{9m+4k\sqrt3}{24},\frac{m\sqrt3+4k}{8})
\lambda_{NS}=\frac{4k+m\sqrt3}{\sqrt3(m\sqrt3 - 4k}
και η εξίσωση της NS είναι
y-\frac{m\sqrt3+4k}{8}=\frac{4k+m\sqrt3}{\sqrt3(m\sqrt3 – 4k)}(x-\frac{9m+4k\sqrt3}{24})
Από την τελευταία εξίσωση για y=0 βρίσκουμε ότι x=\frac{2k\sqrt3}{3},
δηλαδή S(\frac{2k\sqrt3}{3},0). Άρα το σημείο S είναι σταθερό.
Αν S(4,0) τότε \frac{2k\sqrt3}{3}=4 οπότε είναι k=2\sqrt3.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Συναισθηματική σταθερότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Φεβ 03, 2019 9:49 pm

Από γεωμετρική άποψη και μετά από την όμορφη λύση του Νίκου:

Αν {l_1} η πάνω παράλληλη και {l_2} η κάτω παράλληλη, L \equiv OT \cap {l_1} και F μέσο του OP, τότε, το τετράπλευρο LTFQ, ως ισοσκελές τραπέζιο, είναι εγγράψιμμο σε κύκλο c.
Αν S’ είναι το άλλο σημείο τομής του κύκλου c με την l_2 το τρίγωνο TSQ είναι ισόπλευρο και επομένως S \equiv {S{'}}.
Όμως \angle OLS = \frac{\pi }{3}, με την ημιευθεία OL να είναι σταθερή, επομένως το S είναι σταθερό.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8308
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συναισθηματική σταθερότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 04, 2019 9:50 am

S.E.Louridas έγραψε:
Κυρ Φεβ 03, 2019 9:49 pm
Από γεωμετρική άποψη και μετά από την όμορφη λύση του Νίκου:

Αν {l_1} η πάνω παράλληλη και {l_2} η κάτω παράλληλη, L \equiv OT \cap {l_1} και F μέσο του OP, τότε, το τετράπλευρο LTFQ, ως ισοσκελές τραπέζιο, είναι εγγράψιμμο σε κύκλο c.
Αν S’ είναι το άλλο σημείο τομής του κύκλου c με την l_2 το τρίγωνο TSQ είναι ισόπλευρο και επομένως S \equiv {S{'}}.
Όμως \angle OLS = \frac{\pi }{3}, με την ημιευθεία OL να είναι σταθερή, επομένως το S είναι σταθερό.
Ρουά Ματ!!! :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες