Χορδές παραβολής

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Έλενα Σάββα
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm

Χορδές παραβολής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Έλενα Σάββα » Σάβ Ιαν 12, 2019 6:49 pm

Δείξτε οτι ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών της παραβολής y^{2}=2px (1) που περνούν από το (0, 0) είναι επίσης παραβολή, με

εξίσωση y^{2}=px (2).



Αρχικά πήρα δύο τυχαία σημεία πάνω στην παραβολή (1) ,που θα είναι άκρα κάποιας χορδής. Αυτά τα σημεία θα επαληθεύουν την εξίσωση (1). Μετά παίρνω το μέσο της τυχαίας χορδής που πήρα πριν ,το οποίο επαληθεύει την (2). Δυσκολεύομαι όμως να συνδέσω αυτά τα δεδομένα. Είναι σωστά; :roll:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8076
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χορδές παραβολής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 12, 2019 7:22 pm

Έλενα Σάββα έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 6:49 pm
Δείξτε οτι ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών της παραβολής y^{2}=2px (1) που περνούν από το (0, 0) είναι επίσης παραβολή, με

εξίσωση y^{2}=px (2).



Αρχικά πήρα δύο τυχαία σημεία πάνω στην παραβολή (1) ,που θα είναι άκρα κάποιας χορδής. Αυτά τα σημεία θα επαληθεύουν την εξίσωση (1). Μετά παίρνω το μέσο της τυχαίας χορδής που πήρα πριν ,το οποίο επαληθεύει την (2). Δυσκολεύομαι όμως να συνδέσω αυτά τα δεδομένα. Είναι σωστά; :roll:
Δεν θα πάρεις δύο τυχαία σημεία, αλλά ένα. Το άλλο είναι το O. Θα δεις ότι τώρα είναι πολύ απλό.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χορδές παραβολής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 12, 2019 7:44 pm

Έλενα Σάββα έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 6:49 pm
Δείξτε οτι ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών της παραβολής y^{2}=2px (1) που περνούν από το (0, 0) είναι επίσης παραβολή, με

εξίσωση y^{2}=px (2).



Αρχικά πήρα δύο τυχαία σημεία πάνω στην παραβολή (1) ,που θα είναι άκρα κάποιας χορδής. Αυτά τα σημεία θα επαληθεύουν την εξίσωση (1). Μετά παίρνω το μέσο της τυχαίας χορδής που πήρα πριν ,το οποίο επαληθεύει την (2). Δυσκολεύομαι όμως να συνδέσω αυτά τα δεδομένα. Είναι σωστά; :roll:
Για να μην κάνεις χρήση πολλών παραμέτρων ( γενικός κανόνας με εξαιρέσεις όμως)

Για κάθε t , το σημείο A\left( {\dfrac{{{t^2}}}{{2p}},t} \right) ανήκει στην παραβολή

(Αποφεύγω ριζικά με αυτή την επιλογή)

Το μέσο M({x_0},{y_0}) της χορδής OA είναι M:\left\{ \begin{gathered} 
  {x_0} = \frac{{{t^2}}}{{4p}} \hfill \\ 
  {y_0} = \frac{t}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. με απαλοιφή της

παραμέτρου t έχεις αυτό που θέλεις .


Έλενα Σάββα
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm

Re: Χορδές παραβολής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Έλενα Σάββα » Σάβ Ιαν 12, 2019 9:19 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:44 pm
Το μέσο M({x_0},{y_0}) της χορδής OA είναι M:\left\{ \begin{gathered} 
  {x_0} = \frac{{{t^2}}}{{4p}} \hfill \\ 
  {y_0} = \frac{t}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. με απαλοιφή της

παραμέτρου t έχεις αυτό που θέλεις .
\small x_{0}=\frac{t^{2}}{4p}, y_{0}=\frac{t}{2} \Rightarrow 2y_{0}=\sqrt{4px_{0}}\Rightarrow y_{0}=px_{0}


Έλενα Σάββα
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm

Re: Χορδές παραβολής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Έλενα Σάββα » Σάβ Ιαν 12, 2019 9:20 pm

Σας ευχαριστώ πολυ!!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11149
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Χορδές παραβολής

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 12, 2019 10:15 pm

Έλενα Σάββα έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 6:49 pm
της παραβολής y^{2}=2px (1)
.
Doloros έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:44 pm
Για κάθε t , το σημείο A\left( {\dfrac{{{t^2}}}{{2p}},t} \right) ανήκει στην παραβολή.
Αυτή την τεχνική πρέπει να την θυμόμαστε πάντα. Για κάποιο λόγο οι Αναλυτικές Γεωμετρίες
στην χώρα μας, εν γένει, δεν την υιοθετούν ενώ στις ξένες είναι ο κανόνας.

Ακόμα χειρότερα στην χώρα μας η παραβολή συνηθίζεται να γράφεται ως y^2 = 2px. Είναι καλύτερο, όπως κάνουν
οι ξένοι, να την γράφουμε ως y^2 = 4px.

Ποια είναι η διαφορά; Μεγάλη! Στην πρώτη περίπτωση, την ελληνική πρακτική, η εστία της παραβολής είναι
το σημείο \left ( \dfrac {p}{2}, \, 0\right ) ενώ στις ξένες είναι (p, \, 0). Με λίγα
λόγια στις ελληνικές κουβαλάμε κλάσματα όταν μπορούμε να τα αποφύγουμε.

Σημειώνω ακόμη ότι το τυπικό σημείο της y^2 = 4px είναι το (pt^2, \, 2pt) που είναι αρκετά πιο βολικό από το αντίστοιχο \left( {\dfrac{{{t^2}}}{{2p}},t} \right) της μορφής y^2 = 2px που συνηθίζουμε στον τόπο μας.

Όταν διδάσκω Αναλυτική, πάντα παίρνω την εξίσωση της παραβολής στην μορφή y^2 = 4px.


Έλενα Σάββα
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm

Re: Χορδές παραβολής

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Έλενα Σάββα » Σάβ Ιαν 12, 2019 10:38 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 10:15 pm
Έλενα Σάββα έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 6:49 pm
της παραβολής y^{2}=2px (1)
.
Doloros έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:44 pm
Για κάθε t , το σημείο A\left( {\dfrac{{{t^2}}}{{2p}},t} \right) ανήκει στην παραβολή.
Αυτή την τεχνική πρέπει να την θυμόμαστε πάντα. Για κάποιο λόγο οι Αναλυτικές Γεωμετρίες
στην χώρα μας, εν γένει, δεν την υιοθετούν ενώ στις ξένες είναι ο κανόνας. (*)

Ακόμα χειρότερα στην χώρα μας η παραβολή συνηθίζεται να γράφεται ως y^2 = 2px. Είναι καλύτερο, όπως κάνουν
οι ξένοι, να την γράφουμε ως y^2 = 4px.

Σας ευχαριστώ για τις περισσότερες πληροφορίες, πολύ χρησιμες!! Δεν είχα καταλάβει ότι είναι γνωστή τεχνική (*).


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χορδές παραβολής

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 12, 2019 10:43 pm

Έλενα Σάββα έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 9:19 pm
Doloros έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:44 pm
Το μέσο M({x_0},{y_0}) της χορδής OA είναι M:\left\{ \begin{gathered} 
  {x_0} = \frac{{{t^2}}}{{4p}} \hfill \\ 
  {y_0} = \frac{t}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. με απαλοιφή της

παραμέτρου t έχεις αυτό που θέλεις .
\small x_{0}=\frac{t^{2}}{4p}, y_{0}=\frac{t}{2} \Rightarrow 2y_{0}=\sqrt{4px_{0}}\Rightarrow y_{0}=px_{0}
Επί το ορθό \boxed{y_0^2 = p{x_0}}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11149
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Χορδές παραβολής

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 12, 2019 10:53 pm

Έλενα Σάββα έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 10:38 pm
Δεν είχα καταλάβει ότι είναι γνωστή τεχνική (*).
Είπαμε, όχι και τόσο γνωστή στην χώρα μας.

Τώρα έμαθες κάτι καλό στο φόρουμ, και χαιρόμαστε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης