Κάθετα διανύσματα

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10574
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κάθετα διανύσματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 12, 2019 1:33 pm

Κάθετα  διανύσματα.png
Κάθετα διανύσματα.png (8.98 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές
Προεκτείνω τις πλευρές AB , AC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC κατά ίσα τμήματα BD,CE .

Αν K είναι το περίκεντρο του τριγώνου και M το μέσο της DC , δείξτε ότι : \overrightarrow{MK}\perp\overrightarrow{ME}



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 144
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Κάθετα διανύσματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Ιαν 12, 2019 9:03 pm

Καλησπέρα,

Εστω \large S το μέσο της \large BC. Εχω \large \left | MS \right |=\frac{x}{2} και \large \left | KS \right |=\frac{a\sqrt{3}}{6}.
\large \overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SK}
\large \overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CE}.
\large \overrightarrow{MK}*\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MS}*\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MS}*\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{MS}*\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{SK}*\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SK}*\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SK}*\overrightarrow{CE}=
\large \frac{x^{2}}{4}+\frac{a}{2}.\frac{x}{2}.cos60+\frac{x}{2}x.cos120+\frac{a\sqrt{3}}{6}.\frac{x}{2}cos30+0+\frac{a\sqrt{3}}{6}(-x)cos150=...=0

Αρα \large \overrightarrow{MK},\overrightarrow{ME} κάθετα.

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
katheta_dianysmata.png
katheta_dianysmata.png (15.11 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1785
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κάθετα διανύσματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Ιαν 13, 2019 8:16 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 1:33 pm
Κάθετα διανύσματα.pngΠροεκτείνω τις πλευρές AB , AC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC κατά ίσα τμήματα BD,CE .

Αν K είναι το περίκεντρο του τριγώνου και M το μέσο της DC , δείξτε ότι : \overrightarrow{MK}\perp\overrightarrow{ME}
Εστω ότι \vec{AB}=\vec{a},\vec{AC}=\vec{b},\vec{BD}=\vec{x},\vec{CE}=\vec{\vec{y}},\left | \vec{a} \right\left |=\left | \vec{b} \right |,\left | \vec{x} \right |=\left | \vec{y} \right |,

\vec{MK}=-\dfrac{1}{2}\vec{x}+\dfrac{1}{3}\vec{JA}=-\frac{1}{2}\vec{x}+\dfrac{1}{6}(-\vec{a}-\vec{b}),(1), \vec{ME}=\dfrac{1}{2}\vec{DC}+\vec{y}=\dfrac{1}{2}(-\vec{x}-\vec{a}- \vec{b})+\vec{y},(2)

Συνεπώς

(1),(2)\Rightarrow \vec{MK}.\vec{ME}=3\vec{x}(\vec{x}-2\vec{y})+(\vec{x}-2\vec{y})(\vec{a}+\vec{b})+3\vec{x}(\vec{a}-\vec{b})+\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}=3.\vec{x}^{2}-6\vec{x}.\vec{y}+\vec{a}.\vec{x}-2.\vec{a}.\vec{y}+\vec{b}.\vec{x}-2\vec{b}.\vec{y}+3\vec{x}.\vec{a}-3\vec{x}.\vec{b}=0

Γιατί

\left | \vec{a}+\vec{x} \right |=\left | \vec{b} \right+\vec{y} |\Leftrightarrow \vec{a}.\vec{x}=\vec{b}.\vec{y}, \left | \vec{a}-\vec{b} \right |=\left | \vec{a} \right |=\left | \vec{b} \right |\Leftrightarrow \vec{a}^{2}=2\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}^{2},\vec{a}.\vec{x}=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{x} \right |,\left | \vec{b} \right\vec{y} |=\vec{b}.\vec{y},


Γιάννης
Συνημμένα
Κάθετα διανύσματα.png
Κάθετα διανύσματα.png (84.42 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κάθετα διανύσματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 13, 2019 8:50 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 1:33 pm
Κάθετα διανύσματα.pngΠροεκτείνω τις πλευρές AB , AC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC κατά ίσα τμήματα BD,CE .

Αν K είναι το περίκεντρο του τριγώνου και M το μέσο της DC , δείξτε ότι : \overrightarrow{MK}\perp\overrightarrow{ME}
Μία εκτός φακέλου.
Κάθετα διανύσματα.png
Κάθετα διανύσματα.png (19.85 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές
Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα AKD, BCD έχω:
\displaystyle K{D^2} = K{E^2} = {(a + x)^2} + \frac{{{a^2}}}{3} - a(a + x) \boxed{K{D^2} = {x^2} + ax + \frac{{{a^2}}}{3}} (1) και \boxed{CD^2=a^2+ax+x^2} (2)

Με τους τύπους των διαμέσων στα KCD, ECD:

\displaystyle K{M^2} + M{E^2} = \frac{{2K{D^2} + 2K{C^2} + 2D{E^2} + 2C{E^2} - 2C{D^2}}}{4}\mathop  = \limits^{(1),(2)} {x^2} + ax + \frac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow

\boxed{KM^2+ME^2=KE^2} και το ζητούμενο έπεται.


Ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι οι οξείες γωνίες αυτού του ορθογωνίου τριγώνου είναι 30^\circ-60^\circ.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6456
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κάθετα διανύσματα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 13, 2019 4:24 pm

Με άλλη εκφώνηση και με άλλες λύσεις Εδώ


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 325
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Κάθετα διανύσματα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Κυρ Ιαν 13, 2019 6:29 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 1:33 pm
Κάθετα διανύσματα.pngΠροεκτείνω τις πλευρές AB , AC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC κατά ίσα τμήματα BD,CE .

Αν K είναι το περίκεντρο του τριγώνου και M το μέσο της DC , δείξτε ότι : \overrightarrow{MK}\perp\overrightarrow{ME}
Καλησπέρα .
Μια προσπάθεια με συντεταγμένες ...
Κάθετα διανύσματα.png
Κάθετα διανύσματα.png (80.3 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle{ADE} είναι ισόπλευρο αφού \displaystyle{\widehat{DAE}=60^{o}} και AD=AE .
Συνεπώς έχουμε το παραπάνω σχήμα.
Έστω F(0,t) με 0<t<\sqrt{3} . Είναι (AF)= \sqrt{3}-t (1) . Επίσης θεωρούμε (AC)=a ,

οπότε από ορθογώνιο τρίγωνο AFC έχουμε \displaystyle{\widehat{DAE}=30^{o}} , άρα FC= \dfrac{a}{2} και (AF)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} (2) .

Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι a= 2- \dfrac{2\sqrt{3}}{3}t και (FC)=\dfrac{a}{2}= 1- \dfrac{\sqrt{3}}{3}t. Άρα C\left ( 1- \dfrac{\sqrt{3}}{3}t ,t \right ) .
Επίσης M\left ( -\dfrac{\sqrt{3}t}{6} , \dfrac{t}{2}\right ) και επειδή (FK)=\dfrac{1}{3}(AF)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{t}{3} συμπεραίνουμε ότι (OK)= \dfrac{2t+\sqrt{3}}{3} .
Άρα K\left ( 0,\dfrac{2t+\sqrt{3}}{3} \right ) .
Από τα παραπάνω προκύπτουν : \vec{MK}= \left ( \dfrac{\sqrt{3}t}{6} , \dfrac{t+2\sqrt{3}}{6}\right ) και \vec{MK}= \left ( 1+\dfrac{\sqrt{3}t}{6} , -\dfrac{t}{2}\right ) .
Τελικά από αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου έχουμε \vec{MK}\cdot \vec{ME} =0
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης