Επιδίωξη ορθογωνιότητας

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15034
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επιδίωξη ορθογωνιότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 20, 2018 2:05 pm

Επιδίωξη ορθογωνιότητας.png
Επιδίωξη ορθογωνιότητας.png (15.38 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές
Από σημείο A του ημιάξονα Ox , φέρω εφαπτόμενες προς τον κύκλο : x^2+y^2=4 , από

τις οποίες η "πάνω" τέμνει την ευθεία y=-2x , στο σημείο B . Η εφαπτομένη του κύκλου

από το B τέμνει την "κάτω " εφαπτομένη στο σημείο C . Βρείτε την τετμημένη του A , ώστε

το τρίγωνο \displaystyle ABC να είναι ορθογώνιο στο B και τις συντεταγμένες του C . Ωραίο τρίγωνο !


Λέξεις Κλειδιά:
εφαπτόμενες
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13298
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επιδίωξη ορθογωνιότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 20, 2018 5:12 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 20, 2018 2:05 pm
 Επιδίωξη ορθογωνιότητας.pngΑπό σημείο A του ημιάξονα Ox , φέρω εφαπτόμενες προς τον κύκλο : x^2+y^2=4 , από

τις οποίες η "πάνω" τέμνει την ευθεία y=-2x , στο σημείο B . Η εφαπτομένη του κύκλου

από το B τέμνει την "κάτω " εφαπτομένη στο σημείο C . Βρείτε την τετμημένη του A , ώστε

το τρίγωνο \displaystyle ABC να είναι ορθογώνιο στο B και τις συντεταγμένες του C . Ωραίο τρίγωνο !
Επιδίωξη ορθογωνιότητας.png
Επιδίωξη ορθογωνιότητας.png (18.25 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές
Πρώτη διαπίστωση είναι ότι η ευθεία y=-2x διχοτομεί τη γωνία \widehat B, οπότε \displaystyle BO = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow 5{b^2} = 8

και \displaystyle B\left( { - \frac{{2\sqrt {10} }}{5},\frac{{4\sqrt {10} }}{5}} \right). Στη συνέχεια επειδή \displaystyle d(O,AB) = 2, βρίσκω \boxed{a=2\sqrt{10}}

H ευθεία AB έχει εξίσωση \displaystyle y = - \frac{x}{3} + \frac{{2\sqrt {10} }}{3}. Η BC είναι κάθετη σε αυτήν, ενώ η AC είναι συμμετρική της ως προς

τον άξονα x'x και έχουν εξισώσεις: \boxed{BC:y = 3x + 2\sqrt {10}} και \boxed{AC:y = \frac{x}{3} - \frac{{2\sqrt {10} }}{3}}

Λύνοντας το σύστημα των δύο τελευταίων εξισώσεων παίρνω \boxed{C(-\sqrt{10},-\sqrt{10})} και το ωραίο τρίγωνο είναι 6-8-10.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Επιδίωξη ορθογωνιότητας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τετ Νοέμ 21, 2018 6:38 am

Ένας άλλος τρόπος εντοπισμού των συντεταγμένων του Β είναι ο εξής:
Ο γεωμετρικός τόπος του B είναι κύκλος με κέντρο O ,ακτίνα 2\sqrt{2} και εξίσωση: x^{2}+y^{2}=8
. Το B ανήκει στην ευθεία με εξίσωση y=-2x και τον κύκλο x^{2}+y^{2}=8 . Επιλύοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων βρίσκουμε συντετατγμένες για το B .
H συνέχεια είναι όπως ακριβώς στην παραπάνω λύση
Συνημμένα
geogebra-export (1).png
geogebra-export (1).png (263.37 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 17 επισκέπτες