διανύσματα και γεωμετρία

marinapapa · #1

Καλησπέρα σας.. Ένα θέμα για Β λυκείου σε φυλλάδιο με γνώσεις έως τις συντεταγμένες διανυσ. (παρ. 1.4 σχολικού)
Θα ήθελα να δω τη λύση σας για το iv ερώτημα. Με εκτίμηση!

Θεωρούμε τα σημεία Α ( 0, 2) , Β ( 8, 3) και Γ ( 3, 4) .

i) Ν. δ. ό. αποτελούν κορυφές τριγώνου.
ii) Nα βρεθούν τα μήκη των πλευρών του.
iii) Nα βρεθούν οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμ. ΑΒ και ΑΓ.
iv) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του ίχνους Μ της διαμέσου ΑΜ και τα ίχνη Δ, Ε της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου ΑΔ, ΑΕ αντίστοιχα.
v) Να βρεθεί η σχέση των συντ. διεύθυνσης της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

marinapapa έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 15, 2018 10:00 pm
Καλησπέρα σας.. Ένα θέμα για Β λυκείου σε φυλλάδιο με γνώσεις έως τις συντεταγμένες διανυσ. (παρ. 1.4 σχολικού)
Θα ήθελα να δω τη λύση σας για το iv ερώτημα. Με εκτίμηση!

Θεωρούμε τα σημεία Α ( 0, 2) , Β ( 8, 3) και Γ ( 3, 4) .

i) Ν. δ. ό. αποτελούν κορυφές τριγώνου.
ii) Nα βρεθούν τα μήκη των πλευρών του.
iii) Nα βρεθούν οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμ. ΑΒ και ΑΓ.
iv) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του ίχνους Μ της διαμέσου ΑΜ και τα ίχνη Δ, Ε της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου ΑΔ, ΑΕ αντίστοιχα.
v) Να βρεθεί η σχέση των συντ. διεύθυνσης της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου.

Κατά αρχάς γράψε το κείμενο σε TEX.
Εύκολο είναι αρκεί να αφιερώσεις λίγο χρόνο.
Πολύ λιγότερο από αυτόν που θα σου απαντήσει και φυσικά θα τα έχει γραμμένα σε TEX.

Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς '' Θα ήθελα να δω τη λύση σας για το iv ερώτημα.''
Εχεις λύση και θες να δεις και άλλη;
Η δεν έχεις λύση;
Σε κάθε περίπτωση γράψε μας τι έχεις κάνει και τις απορίες σου.
Ευχαρίστως θα σου απαντήσουμε.

#3

marinapapa έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 15, 2018 10:00 pm
Καλησπέρα σας.. Ένα θέμα για Β λυκείου σε φυλλάδιο με γνώσεις έως τις συντεταγμένες διανυσ. (παρ. 1.4 σχολικού)
Θα ήθελα να δω τη λύση σας για το iv ερώτημα. Με εκτίμηση!

Θεωρούμε τα σημεία Α ( 0, 2) , Β ( 8, 3) και Γ ( 3, 4) .

i) Ν. δ. ό. αποτελούν κορυφές τριγώνου.
ii) Nα βρεθούν τα μήκη των πλευρών του.
iii) Nα βρεθούν οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμ. ΑΒ και ΑΓ.
iv) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του ίχνους Μ της διαμέσου ΑΜ και τα ίχνη Δ, Ε της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου ΑΔ, ΑΕ αντίστοιχα.
v) Να βρεθεί η σχέση των συντ. διεύθυνσης της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου.

Καλώς ήλθες στο mathematica.

Μην αμελείς να γράφεις σε latex, όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας.

Επειδή οι ερωτήσεις σου είναι προφανώς από μαθήματα που παρακολουθείς και δεν θέλουμε να παρακάμψουμε τους δασκάλους σου,
θα δώσω μόνο υπόδειξη. Έτσι και αλλιώς η άσκηση είναι πολλή απλή.

α) Βρες το μέσον της $B\Gamma$

β) H διχοτόμος δύο διανυσμάτων είναι $\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}$ είναι επί του $\displaystyle{\frac {\overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{u}|}+ \frac {\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}}$ (οι παρονομαστές είναι τα μήκη των διανυσμάτων).

Περιμένουμε εδώ τις λύσεις σου.

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος.

marinapapa · #4

Συγγνώμη για τον τρόπο γραφής αλλά δεν γνωρίζω πως να χρησιμοποιώ το site.

Μέσω παραλληλίας βρίσκω μια σχέση για το ζητούμενο σημείο ( χ, y).
Έπειτα ψάχνω δεύτερη σχέση. Μέσω θεωρήματος εσωτερικής διχοτόμου, έχω μία σχέση (αναλογία), που όμως καθώς αντικαθιστώ στην αναλογία τα μέτρα των ΒΔ και ΓΔ χάνομαι στις πράξεις. Οι αριθμοί βγαίνουν τεράστιοι. Γι αυτό ζητώ μια υπόδειξη, να δω τι μου διαφεύγει. Έχω αφιερώσει πολύ χρόνο γι αυτό.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

marinapapa έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 15, 2018 10:00 pm
Καλησπέρα σας.. Ένα θέμα για Β λυκείου σε φυλλάδιο με γνώσεις έως τις συντεταγμένες διανυσ. (παρ. 1.4 σχολικού)
Θα ήθελα να δω τη λύση σας για το iv ερώτημα. Με εκτίμηση!

Θεωρούμε τα σημεία Α ( 0, 2) , Β ( 8, 3) και Γ ( 3, 4) .

i) Ν. δ. ό. αποτελούν κορυφές τριγώνου.
ii) Nα βρεθούν τα μήκη των πλευρών του.
iii) Nα βρεθούν οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμ. ΑΒ και ΑΓ.
iv) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του ίχνους Μ της διαμέσου ΑΜ και τα ίχνη Δ, Ε της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου ΑΔ, ΑΕ αντίστοιχα.
v) Να βρεθεί η σχέση των συντ. διεύθυνσης της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου.

Αφού σας έγραψα λύση στο εργαστήρι. Τέλος πάντων.

Όπου Γ θα βάλω G για ευκολία στην πληκτρολόγηση.

Οι εξισώσεις των ευθειών

,

και

είναι $y-2=\frac{3-2}{8-0}(x-0)\Leftrightarrow y=\frac{1}{8}x+2\Leftrightarrow x-8y+16=0$

και $y-2=\frac{4-2}{3-0}(x-0)\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}x+2\Leftrightarrow 2x-3y+6=0$

και $y-4=\frac{4-3}{3-8}(x-3)\Leftrightarrow y=-\frac{1}{5}x+\frac{23}{5}\Leftrightarrow-x-5y+23=0$ αντίστοιχα.

Έστω (x,y)

τυχόν σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές AB,AG

. Τότε θα ισχύει

$\frac{|x-8y+16|}{\sqrt{1^2+8^2}}=\frac{|2x-3y+6|}{\sqrt{2^2+3^2}}\Leftrightarrow \sqrt{13}|x-8y+16|=\sqrt{65}|2x-3y+6|\Leftrightarrow |\sqrt{13}x-8\sqrt{13}y+16\sqrt{13}|=$

$|2\sqrt{65}x-3\sqrt{65}y+6\sqrt{65}|\Leftrightarrow \sqrt{13}x-8\sqrt{13}y+16\sqrt{13}=\pm (2\sqrt{65}x-3\sqrt{65}y+6\sqrt{65})\Leftrightarrow$

$(\sqrt{13}-2\sqrt{65})x-(8\sqrt{13}-3\sqrt{65})y+(16\sqrt{13}-6\sqrt{65})=0 OR (\sqrt{13}+2\sqrt{65})x-(8\sqrt{13}+3\sqrt{65})y+(16\sqrt{13}+6\sqrt{65})=0$

Αυτές είναι οι δύο διχοτόμοι των ευθειών AB,AG.

Τα ζητούμενα ίχνη τώρα θα προκύψουν από τη λύση των

συστημάτων

$\begin{Bmatrix} (\sqrt{13}-2\sqrt{65})x-(8\sqrt{13}-3\sqrt{65})y+(16\sqrt{13}-6\sqrt{65})=0\\ -x-5y+23=0 \end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix} (\sqrt{13}+2\sqrt{65})x-(8\sqrt{13}+3\sqrt{65})y+(16\sqrt{13}+6\sqrt{65})=0\\ -x-5y+23=0 \end{Bmatrix}$ .

Edit Τώρα είδα το '' έως τις συντεταγμένες διανυσ. (παρ. 1.4 σχολικού) '' . Χρησιμοποίησε το αποτέλεσμα της άσκησης 4 Β' ΟΜΑΔΑΣ παράγραφος 1.3 του σχολικού και το Θ.Εσωτερικής -Εξωτερικής διχοτόμου.

marinapapa · #6

Προσπαθώ να το λύσω με θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου. Ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σας όμως. Θα το κοιτάξω καλύτερα.

#7

marinapapa έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 15, 2018 11:05 pm
Προσπαθώ να το λύσω με θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου.

Σωστός τρόπος. Συνέχισε.

Ως μικρή υπόδειξη, είναι $\displaystyle{\frac {AB}{A\Gamma} = ... = \dfrac {\sqrt {65}}{\sqrt {13}} =\sqrt 5}$

Περιμένουμε εδώ την λύση σου.

Ratio · #8

Μια προσέγγιση που μπορείς να κάνεις - το δίνω για την εσωτερικη διχοτόμο - είναι η ακόλουθη: Το Δ στο κείμενο θα το εμφανίσω ως D και το Γ ως C.
το διάνυσμα $\vect{DC}//\vec{BC}$ ,

άρα υπάρχει πραγματικός αριθμός

, τέτοιος ώστε:
$\vec{DC}//\vec{BC}\Leftrightarrow \vec{DC}=m\vec{BC}\Leftrightarrow \vec{DC}=m(-5,1)\\\Leftrightarrow \vec{DC}=(-5m,m)$

`Εστω ότι το $D(x_{0},y_{0})$ .

Από τη σχέση των συντεταγμένων προκύπτει $\vec{DC}=(-5m,m)=(3-x_{0},4-y_{o})\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \\ x_{0}=3+5m\\ y_{0}=4-m \end{Bmatrix}$

Εφαρμόζεις στη συνέχεια θεώρημα διχοτόμων εκφράζοντας τα μέτρα των διανυσμάτων ως προς

, καταλήγοντας σε δευτεροβάθμια

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 16, 2018 9:48 am

marinapapa έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 15, 2018 11:05 pm
Προσπαθώ να το λύσω με θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου.
Σωστός τρόπος. Συνέχισε.

Ως μικρή υπόδειξη, είναι $\displaystyle{\frac {AB}{A\Gamma} = ... = \dfrac {\sqrt {65}}{\sqrt {13}} =\sqrt 5}$

Περιμένουμε εδώ την λύση σου.

Μαρίνα, χάθηκες. Καμιά πρόοδος εδώ;

διανύσματα και γεωμετρία

διανύσματα και γεωμετρία

Re: διανύσματα και γεωμετρία

Re: διανύσματα και γεωμετρία

Re: διανύσματα και γεωμετρία

Re: διανύσματα και γεωμετρία

Re: διανύσματα και γεωμετρία

Re: διανύσματα και γεωμετρία

Re: διανύσματα και γεωμετρία

Re: διανύσματα και γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση