Άσκηση σχολικού

ann79 · #1

Δίνεται κύκλος (O,R)

και σημείο

του επιπέδου του.Αν μεταβλητή ευθεία που περνά από το

τέμνει τον κύκλο στα A,B

, να δείξετε ότι το $\vec{MA}\cdot \vec{MB}$ είναι σταθερό. Είναι η άσκηση 11 της β ομάδας του σχολικού από την παράγραφο 1.5, θα μπορούσε να λυθεί χωρίς τη χρήση προβολής διανύσματος σε διάνυσμα;

#2

ann79 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 06, 2018 10:47 am
Δίνεται κύκλος και σημείο του επιπέδου του.Αν μεταβλητή ευθεία που περνά από το τέμνει τον κύκλο στα , να δείξετε ότι το $\vec{MA}\cdot \vec{MB}$ είναι σταθερό. Είναι η άσκηση 11 της β ομάδας του σχολικού από την παράγραφο 1.5, θα μπορούσε να λυθεί χωρίς τη χρήση προβολής διανύσματος σε διάνυσμα;

Έστω

μέσο του

: Α.Σ.png (8.51 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

$\displaystyle \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = (\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} )(\overrightarrow {MK} - \overrightarrow {KA} ) = {\overrightarrow {MK} ^2} - {\overrightarrow {KA} ^2} = {(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OK} )^2} - {(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OK} )^2} =$

$\displaystyle {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2} + 2\overrightarrow {OK} (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} ) = {\overrightarrow {MO} ^2} - {r^2}$ (αφού $\displaystyle \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {OK} \Leftrightarrow \overrightarrow {OK} \cdot \overrightarrow {MA} = 0$ )

#3

Και αλλιώς (μόνο τα κύρια βήματα)

Για κάποιο

είναι $\displaystyle \overrightarrow {OM}= c\overrightarrow {OA}+ (1-c) \overrightarrow {OB}, \, (*)$ . Είναι τότε

$\displaystyle{ \overrightarrow {MA}\cdot \overrightarrow {MB}= ( \overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OM}) \cdot ( \overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OM}) = \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} - ( \overrightarrow {OA}+ \overrightarrow {OB}) \cdot \overrightarrow {OM} + |\overrightarrow {OM}|^2 }$

Στο δεξί μέλος αντικαθιστούμε το προτελευταίο $\displaystyle{ \overrightarrow {OM}}$ από το ίσο του στην (*)

. Μετά τις απλές πράξεις θα βγει

$\displaystyle{ -c | \overrightarrow {OA}|^2 - (1-c)| \overrightarrow {OB}|^2 + |\overrightarrow {OM}|^2 = -c R^2 - (1-c)|R^2 + |\overrightarrow {OM}|^2= |\overrightarrow {OM}|^2- R^2 }$

KARKAR · #4

Μια άλλη απόδειξη ( όχι άλλου απόδειξη ! ) , δείτε εδώ .

Άσκηση σχολικού

Άσκηση σχολικού

Re: Άσκηση σχολικού

Re: Άσκηση σχολικού

Re: Άσκηση σχολικού

Μέλη σε σύνδεση