Συγγραμμικότητα

ann79 · #1

Αν το $\vec{a}+\vec{b}$ είναι συγγραμμικό του $\vec{a}$ , τότε το $\vec{a}+\vec{b}$ είναι συγγραμμικό του $\vec{b}$ . Σωστό ή λάθος;

#2

ann79 έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 26, 2018 11:28 am
Αν το $\vec{a}+\vec{b}$ είναι συγγραμμικό του $\vec{a}$ , τότε το $\vec{a}+\vec{b}$ είναι συγγαρμμικό του $\vec{b}$ . Σωστό ή λάθος;

Λάθος, γιατί μπορεί να είναι $\displaystyle \overrightarrow b = \overrightarrow 0$

ann79 · #3

Γιατί είναι λάθος τότε;Το μηδενικό διάνυσμα δεν θεωρείται συγγραμμικό με οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα;

#4

ann79 έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 26, 2018 12:23 pm
Γιατί είναι λάθος τότε;Το μηδενικό διάνυσμα δεν θεωρείται συγγραμμικό με οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα;

Το σχολικό βιβλίο, στον ορισμό των συγγραμικών διανυσμάτων, θέτει ως προϋπόθεση να είναι μη μηδενικά!

perpant · #5

Καλησπέρα. Στο σημείο που ορίζει τη γωνία διανυσμάτων λέει όμως ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι ομόρροπο ή αντίρροπο ή ακόμη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα.

#6

perpant έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 26, 2018 3:29 pm
Καλησπέρα. Στο σημείο που ορίζει τη γωνία διανυσμάτων λέει όμως ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι ομόρροπο ή αντίρροπο ή ακόμη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα.

Καλησπέρα!

Εδώ λοιπόν το σχολικό βιβλίο πέφτει σε αντίφαση. Βέβαια, σε παλαιότερα βιβλία, π.χ Μαθηματικά Γ' Λυκείου (Άλγεβρα-Αναλυτική Γεωμετρία-Πιθανότητες) του 1992, στη συγγραμμικότητα δεν αναφέρεται κανένας όρος περί μη μηδενικών διανυσμάτων. Ο μόνος λόγος λοιπόν που απάντησα Λάθος στο ερώτημα, είναι επειδή βρίσκεται σε σχολικό φάκελο και το εν ενεργεία σχολικό βιβλίο, αποκλείει τα μηδενικά διανύσματα από τον ορισμό της συγγραμμικότητας (κάτι όμως που αναιρεί παρακάτω απ' ό,τι φαίνεται)

perpant · #7

Καλησπέρα Γιώργο.
Είναι όπως ακριβώς το λες, στο συγκεκριμένο σημείο το σχολικό αυτοαναιρείται.

#8

Καλησπέρα σε όλους.

Παραθέτω τα αντίστοιχα αποσπάσματα από τα βιβλία [1] Βαρουχάκης κ.α. 1984, [2] Ανδρεαδάκης κ.α. 1992 και [3] Αδαμόπουλος κ.α. 1998-σήμερα

Στα παλαιότερα βιβλία [1], [2] προηγούνταν ο ορισμός της συγγραμμικότητας και κατόπιν δινόταν ο ορισμός του μηδενικού ενώ στο σημερινό [3] προηγείται ο ορισμός του μηδενικού διανύσματος. Ίσως γι' αυτό αρχικά δηλώνεται "μη μηδενικά" για τα συγγραμμικά και κατόπιν επεκτείνεται ο ορισμός και για μηδενικά.

Θυμάμαι το 1991-92 είχαν ακουστεί διαφορετικές απόψεις για την αναγκαιότητα να οριστεί έτσι η συγγραμμικότητα του μηδενικού με οποιοδήποτε διάνυσμα. Θυμάμαι ότι τότε ο Γ. Τασσόπουλος είχε αφιερώσει όλον τον πρόλογό του σε βιβλίο του Αναλυτικής Γεωμετρίας, νομίζω εκδόσεων Πελεκάνος, αντιμαχόμενος αυτόν τον ορισμό. Αν κάποιος έχει πρόσβαση σε σχετικά κείμενα ας τα δημοσιοποιήσει.

: Βαρουχάκης 1984.jpg (70.78 KiB) Προβλήθηκε 992 φορές

: Ανδρεαδάκης 1992.jpg (38.51 KiB) Προβλήθηκε 992 φορές

: Αδαμόπουλος 1998.jpg (53.85 KiB) Προβλήθηκε 992 φορές

Εδώ, λοιπόν, θα πρότεινα το εξής:

Έστω $\displaystyle \vec a \ne \vec 0$ .

Αφού το $\displaystyle \vec a + \vec b$ είναι παράλληλο με το $\displaystyle \vec a$ , θα υπάρχει $\displaystyle k \in IR$ ώστε $\displaystyle \vec a + \vec b = k\vec a$ .

Οπότε $\displaystyle \vec b = \left( {k - 1} \right)\vec a$ , δηλαδή $\displaystyle \vec b//\vec a$ , οπότε και $\displaystyle \vec a + \vec b//\vec b$ (Σωστό).

Αν $\displaystyle \vec a = \vec 0$ τότε $\displaystyle \vec a + \vec b = \vec b$ , οπότε και σ’ αυτήν την περίπτωση είναι σωστή η πρόταση.

Ratio · #9

"Εστω ότι το $\vec{b}$ δεν είναι παράλληλο στο $\vec{a}+\vec{b}$ , τότε αν γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός του $\vec{a}+\vec{b}}$ και του $\vec{a}$ , υπάρχουν $m,l\in R^{*}$ ,: $\vec{b}=m(\vec{a}+\vec{b})+l\vec{a}$ (1)

Αφού $\vec{a} // \vec{a}+\vec{b}$ , υπάρχει $p\in R^{*} : \vec{a}=p(\vec{a}+\vec{b})$ (2)

Από (1) και (2) προκύπτει:
$\vec{b}=(m+l)\vec{a}+m\vec{b}$ και

$\vec{a}=p(\vec{a}+\vec{b}) \Leftrightarrow$

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε

$\vec{a}+\vec{b} =(m+l+p)\vec{a} +(m+p)\vec{b} \Leftrightarrow 1=m+l+p$ και 1=m+p

Λύνοντας το σύστημα προκύπτει l=0

, άτοπο άρα $\vec{b} // \vec{a+b}$

Συγγραμμικότητα

Συγγραμμικότητα

Re: Συγγραμμικότητα

Re: Συγγραμμικότητα

Re: Συγγραμμικότητα

Re: Συγγραμμικότητα

Re: Συγγραμμικότητα

Re: Συγγραμμικότητα

Re: Συγγραμμικότητα

Re: Συγγραμμικότητα

Μέλη σε σύνδεση