Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Ρουλα Γρ.
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Απρ 15, 2018 7:17 pm

Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ρουλα Γρ. » Δευ Απρ 16, 2018 7:19 pm

Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης; Η άσκηση είναι :
Δίνονται οι κύκλοι (x-2\lambda) ^2+(y-3\lambda) ^{2}=1
, όπου \lambda \epsilon R.
Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος εφάπτεται σε δύο σταθερές ευθείες των οποίων να υπολογίσετε τις εξισώσεις.
Εγώ, προσπάθησα να λύσω την άσκηση παίρνοντας τον τύπο :d(Κ, ε) =ρ όπου ε :y=λx+β αλλά κατέληξα σε μια εξίσωση τετάρτου βαθμού που δεν παραγοντοποιειται και ούτε μπορώ να θέσω κάτι.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5610
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Απρ 16, 2018 7:32 pm

Το κέντρο του κύκλου διατρέχει σταθερή ευθεία και η ακτίνα του είναι σταθερή .

Λίγη φαντασία και θα «ζωγραφιστούν» δυο παράλληλες σταθερές ευθείες .



Όμως γιατί δεν ζητάς βοήθεια απ;o τον καθηγητή σου; ,είτε αυτός σας την πρότεινε είτε όχι, είναι ο πιο ειδήμων να σε κατευθύνει στη λύση της .


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1330
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Δευ Απρ 16, 2018 8:54 pm

Αν θέσουμε λ =1, μετά λ = 2, λ = 3 θα έχουμε τρεις κύκλους με ακτίνα 1 και με κέντρα (0, 0), (2, 3) (4, 6) αντίστοιχα.
Αυτά τα δεδομένα δείχνουν ότι τα κέντρα των κύκλων ανήκουν σε σταθερή ευθεία.
Αυτό που μένει είναι να αποδειχθεί ότι αυτό συμβαίνει για κάθε τιμή του λ.
Οι εφαπτόμενες ευθείες θα είναι παράλληλες σε αυτή την ευθεία και θα απέχουν μεταξύ τους 1+1 = 2 μονάδες.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1434
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Απρ 16, 2018 10:06 pm

Ρουλα Γρ. έγραψε:
Δευ Απρ 16, 2018 7:19 pm
Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης; Η άσκηση είναι :
Δίνονται οι κύκλοι (x-2\lambda) ^2+(y-3\lambda) ^{2}=1
, όπου \lambda \epsilon R.
Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος εφάπτεται σε δύο σταθερές ευθείες των οποίων να υπολογίσετε τις εξισώσεις.
Εγώ,

προσπάθησα να λύσω την άσκηση παίρνοντας τον τύπο :d(Κ, ε) =ρ όπου ε :y=ax+β

αλλά κατέληξα σε μια εξίσωση τετάρτου βαθμού που δεν παραγοντοποιειται και ούτε μπορώ να θέσω κάτι.
Δυνατή σκέψη!

Καταλήγεις, λοιπόν, \left | \lambda (3-2\alpha ) +\beta \right |=\sqrt{\alpha ^2+1}.

Εδώ, τώρα, τα α, β είναι σταθεροί αριθμοί, ενώ το λ μεταβάλλεται στο R. Συμπεραίνουμε ότι \alpha =\dfrac{3}{2} (γιατί;)  \left |\beta  \right | =\sqrt{\alpha ^2+1} =\sqrt{\frac{13}{4}}=... κ.λπ.
τελευταία επεξεργασία από rek2 σε Τρί Απρ 17, 2018 5:55 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1212
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Απρ 16, 2018 11:24 pm

Για τα κέντρα των κύκλων έχουμε:

x_0=2\lambda \,\, \textnormal{\gr και} \,\, y_0=3\lambda \Rightarrow y_0=\dfrac{3}{2}x_0.

Άρα, τα κέντρα των κύκλων ανήκουν στην ευθεία y=\dfrac{3}{2}x (μπλε γραμμή).

Τώρα, με φαντασία, όπως λέει ο Νίκος, και με τις υποδείξεις του Ανδρέα, έχουμε :

Βρίσκουμε την εφαπτόμενη του κύκλου με κέντρο O(0,0), που είναι παράλληλη στην ευθεία y=\dfrac{3}{2}x.

Η εφαπτόμενη έχει εξίσωση y=\dfrac{3}{2}x+\beta, \,\, \beta \in \mathbb{R}.

Άρα, θα πρέπει d(O,A)=1 \Rightarrow \dfrac{|2y-3x-2\beta|}{\sqrt{4+9}}=1 \Rightarrow \dfrac{|2 \cdot  0-3 \cdot 0-2\beta|}{\sqrt{13}}=1 \Rightarrow b=\pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}.

Οπότε, οι δύο παράλληλες εφαπτόμενες είναι \varepsilon_1: y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{\sqrt{13}}{2} και η \varepsilon_2: y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{\sqrt{13}}{2}.

Θα πρέπει όμως οι \varepsilon_1, \varepsilon_2 να είναι εφαπτόμενες και στους άλλους κύκλους, για κάθε \lambda \in \mathbb{R}.

Θα δούμε αν ισχύει αυτό.

Έχουμε:

d(O_\lambda, \varepsilon_1)=\dfrac{|2y-3x+\sqrt{13}|}{\sqrt{13}}=\dfrac{|6\lambda-6\lambda+\sqrt{13}|}{\sqrt{13}}=1.

Όμοια και για την \varepsilon_2, άρα οι \varepsilon_1, \varepsilon_2 είναι εφαπτόμενες σε όλους τους κύκλους, για κάθε \lambda \in \mathbb{R}.
efaptomenes.png
efaptomenes.png (38.68 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Ρουλα Γρ.
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Απρ 15, 2018 7:17 pm

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ρουλα Γρ. » Τετ Απρ 18, 2018 12:23 pm

Ευχαριστώ πολύ!


Ratio
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Απρ 19, 2018 9:36 am

Ρουλα Γρ. έγραψε:
Τετ Απρ 18, 2018 12:23 pm
Ευχαριστώ πολύ!
Η άσκηση σε οδηγούσε να σκεφτείς ότι ο γεωμετρικός τόπος στον οποίο κινούνται τα κέντρα των κύκλων λειτουργεί ως μεσοπαράλληλη ευθεία , συνεπώς ουσιαστικά εύρισκες τις δύο παράλληλες εκατέρωθεν με σταθερή απόσταση 1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες