Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας
Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Θα ήθελα να ρωτήσω αν γίνεται να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης πάνω στον κύκλο. Η άσκηση είναι :Έστω ο κύκλος και η ευθεία . Θεωρούμε ένα σημείο του κύκλου και τις προβολές του στον , , , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό.
τελευταία επεξεργασία από grigkost σε Κυρ Απρ 15, 2018 8:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Αν θες υπόδειξη και όχι ολοκληρωμένη απάντηση , κοίταξε εδώ .
Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Με συγχωρείτε, αλλά πηγαίνω Β'λυκείου και δεν μας έχουν διδάξει την τομεακη σταθερότητα. Μήπως, μπορείτε να μου προτείνετε έναν άλλο τρόπο λύσης;
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Γίνεται να σε βοηθήσουμε ναι, αρκεί να υποσχεθείς ότι θα γράφεις σε Latex όπως ορίζει ο κανονισμός του ,απο εδώ και πέρα.
Το σημείο του κύκλου έχει προβολές στους άξονες την αντίστοιχη τετμημένη και τεταγμένη του. Η προβολή του στην ευθεία μπορεί να βρεθεί ως εξής, θα βρούμε την κάθετη ευθεία που διέρχεται απο το σημείο του κύκλου και στην συνέχεια θα επιλύσουμε το σύστημα εξισώσεων των δύο ευθειών, έτσι θα βρεθεί και η προβολή του στην αρχική ευθεία. Στην συνέχεια απο τον τύπο εμβαδού τριγώνου θα δούμε ότι το εμβαδόν είναι σταθερό και ίσο με 1.
Θα βάλω και ένα σχήμα, που έχει και ένα αποτέλεσμα, για να σου γίνει πιο κατανοητό.
Το σημείο του κύκλου έχει προβολές στους άξονες την αντίστοιχη τετμημένη και τεταγμένη του. Η προβολή του στην ευθεία μπορεί να βρεθεί ως εξής, θα βρούμε την κάθετη ευθεία που διέρχεται απο το σημείο του κύκλου και στην συνέχεια θα επιλύσουμε το σύστημα εξισώσεων των δύο ευθειών, έτσι θα βρεθεί και η προβολή του στην αρχική ευθεία. Στην συνέχεια απο τον τύπο εμβαδού τριγώνου θα δούμε ότι το εμβαδόν είναι σταθερό και ίσο με 1.
Θα βάλω και ένα σχήμα, που έχει και ένα αποτέλεσμα, για να σου γίνει πιο κατανοητό.
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Κυρ Απρ 15, 2018 8:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Καλησπέρα σε όλους. Όσο απαντούσε ο Χρήστος, έγραφα τις συντεταγμένες των σημείων.
Επειδή έχει ενδιαφέρον η άσκηση, δίνω και το δυναμικό σχήμα (geogebra)
Έστω , με .
Τότε .
Είναι , , οπότε
Κατόπιν χρησιμοποιούμε κάποιον τους τύπους εμβαδού τριγώνου (παρατηρήστε ότι είναι ορθογώνιο).
To εμβαδόν βγαίνει .
Επειδή έχει ενδιαφέρον η άσκηση, δίνω και το δυναμικό σχήμα (geogebra)
Έστω , με .
Τότε .
Είναι , , οπότε
Κατόπιν χρησιμοποιούμε κάποιον τους τύπους εμβαδού τριγώνου (παρατηρήστε ότι είναι ορθογώνιο).
To εμβαδόν βγαίνει .
- Συνημμένα
-
- 15-4-2018 Γεωμετρία.ggb
- (26.94 KiB) Μεταφορτώθηκε 37 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Απρ 15, 2018 8:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Να επισημάνω ότι ( σύμφωνα και με την παραπομπή ) , δεν είναι απλά το εμβαδόν
του τριγώνου σταθερό , αλλά όλες οι πλευρές του είναι σταθερές ( κατά μήκος ) ,
συνεπώς και η περίμετρος !
του τριγώνου σταθερό , αλλά όλες οι πλευρές του είναι σταθερές ( κατά μήκος ) ,
συνεπώς και η περίμετρος !
Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε και σε μία παρόμοια άσκηση; Η άσκηση είναι :
Έστω η ευθεία
όπου
και το σημείο
Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του
ως προς την ευθεία
ανήκει σε κύκλο.
Έστω η ευθεία
όπου
και το σημείο
Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του
ως προς την ευθεία
ανήκει σε κύκλο.
Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Σας ευχαριστώ πολύ και συγνώμη αν σας έβαλα σε κόπο!
Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Μπορείς να προσεγγίσεις την άσκηση με δύο τρόπους:
1. Να θεωρήσεις ότι η
είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος
, συνεπώς αν συμβολίσεις το τυχαίο σημείο της ευθείας και το συμμετρικό του οι αποστάσεις και είναι ίσες , άρα
και με πράξεις προκύπτει ότι το κινείται σε περιφέρεια με κέντρο το
ή
2. αυτό που δεν σκέφτηκες και στην προηγούμενη άσκηση ότι από το άγεται κάθετος στην με συντελεστή διεύθυνσης , οπότε λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων θα έβρισκες το σημείο τομής . Στη συνέχεια θα αναζητούσες το συμμετρικο έτσι ώστε .
Kαι στις δύο επιλύσεις χρειάζεται οπωσδήποτε προσοχή στις πράξεις και φυσικά να τηρηθούν οι περιορισμοί έτσι ώστε στην τελική παράσταση οι ποσότητες που θα προκύψουν να ικανοποιούν τη συνθήκη
1. Να θεωρήσεις ότι η
είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος
, συνεπώς αν συμβολίσεις το τυχαίο σημείο της ευθείας και το συμμετρικό του οι αποστάσεις και είναι ίσες , άρα
και με πράξεις προκύπτει ότι το κινείται σε περιφέρεια με κέντρο το
ή
2. αυτό που δεν σκέφτηκες και στην προηγούμενη άσκηση ότι από το άγεται κάθετος στην με συντελεστή διεύθυνσης , οπότε λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων θα έβρισκες το σημείο τομής . Στη συνέχεια θα αναζητούσες το συμμετρικο έτσι ώστε .
Kαι στις δύο επιλύσεις χρειάζεται οπωσδήποτε προσοχή στις πράξεις και φυσικά να τηρηθούν οι περιορισμοί έτσι ώστε στην τελική παράσταση οι ποσότητες που θα προκύψουν να ικανοποιούν τη συνθήκη
Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Μπορείς να προσεγγίσεις την άσκηση με δύο τρόπους:
1. Να θεωρήσεις ότι η
είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος
, συνεπώς αν συμβολίσεις το τυχαίο σημείο της ευθείας και το συμμετρικό του οι αποστάσεις και είναι ίσες , άρα
και με πράξεις προκύπτει ότι το κινείται σε περιφέρεια με κέντρο το
ή
2. αυτό που δεν σκέφτηκες και στην προηγούμενη άσκηση ότι από το άγεται κάθετος στην με συντελεστή διεύθυνσης , οπότε λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων θα έβρισκες το σημείο τομής . Στη συνέχεια θα αναζητούσες το συμμετρικο έτσι ώστε .
Kαι στις δύο επιλύσεις χρειάζεται οπωσδήποτε προσοχή στις πράξεις και φυσικά να τηρηθούν οι περιορισμοί έτσι ώστε στην τελική παράσταση οι ποσότητες που θα προκύψουν να ικανοποιούν τη συνθήκη $A^{2}+B^{2}-4A\Gamma > 0[/tex]
- Συνημμένα
-
- circle.ggb
- (16.99 KiB) Μεταφορτώθηκε 33 φορές
Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Αναλυτική Vs Ευκλείδεια.
Στο σχήμα του Γιώργου από το ορθογώνιο είναι , ίσο με την ακτίνα του κύκλου.
Ακόμα το πεντάγωνο είναι εγγράψιμο, γιατί η φαίνεται από τις κορυφές του υπό ορθές γωνίες.
Έτσι
Επομένως το τρίγωνο μας μεταβάλλεται παραμένοντας ίσο προς τον εαυτό του, αφού μία πλευρά του και οι προσκείμενες της γωνίες παραμένουν σταθερές σε μέγεθος, άρα έχει σταθερό εμβαδόν.
Στο σχήμα του Γιώργου από το ορθογώνιο είναι , ίσο με την ακτίνα του κύκλου.
Ακόμα το πεντάγωνο είναι εγγράψιμο, γιατί η φαίνεται από τις κορυφές του υπό ορθές γωνίες.
Έτσι
Επομένως το τρίγωνο μας μεταβάλλεται παραμένοντας ίσο προς τον εαυτό του, αφού μία πλευρά του και οι προσκείμενες της γωνίες παραμένουν σταθερές σε μέγεθος, άρα έχει σταθερό εμβαδόν.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"
Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Λόγω συμμετρίας είναι . Επομένως το ανήκει στον κύκλο κέντρου και ακτίνας
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες