Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Ρουλα Γρ.
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Απρ 15, 2018 7:17 pm

Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ρουλα Γρ. » Κυρ Απρ 15, 2018 7:56 pm

Θα ήθελα να ρωτήσω αν γίνεται να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης πάνω στον κύκλο. Η άσκηση είναι :Έστω ο κύκλος c:x^2+y^2=5 και η ευθεία \varepsilon: 2y+x=0 . Θεωρούμε ένα σημείο \rm{P} του κύκλου και τις προβολές του {\rm{A}}, {\rm{B}}, \Gamma στον x'x, y'y, \varepsilon, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου \bigtriangleup{\rm{A}} {\rm{B}} \Gamma είναι σταθερό.
τελευταία επεξεργασία από grigkost σε Κυρ Απρ 15, 2018 8:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9713
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 15, 2018 8:26 pm

Αν θες υπόδειξη και όχι ολοκληρωμένη απάντηση , κοίταξε εδώ .


Ρουλα Γρ.
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Απρ 15, 2018 7:17 pm

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ρουλα Γρ. » Κυρ Απρ 15, 2018 8:32 pm

Με συγχωρείτε, αλλά πηγαίνω Β'λυκείου και δεν μας έχουν διδάξει την τομεακη σταθερότητα. Μήπως, μπορείτε να μου προτείνετε έναν άλλο τρόπο λύσης;


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1582
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Απρ 15, 2018 8:35 pm

Γίνεται να σε βοηθήσουμε ναι, αρκεί να υποσχεθείς ότι θα γράφεις σε Latex όπως ορίζει ο κανονισμός του :logo: ,απο εδώ και πέρα.

Το σημείο του κύκλου έχει προβολές στους άξονες την αντίστοιχη τετμημένη και τεταγμένη του. Η προβολή του στην ευθεία μπορεί να βρεθεί ως εξής, θα βρούμε την κάθετη ευθεία που διέρχεται απο το σημείο του κύκλου και στην συνέχεια θα επιλύσουμε το σύστημα εξισώσεων των δύο ευθειών, έτσι θα βρεθεί και η προβολή του στην αρχική ευθεία. Στην συνέχεια απο τον τύπο εμβαδού τριγώνου θα δούμε ότι το εμβαδόν είναι σταθερό και ίσο με 1.

Θα βάλω και ένα σχήμα, που έχει και ένα αποτέλεσμα, για να σου γίνει πιο κατανοητό.
τριγωνο σταθερού εμβαδού.png
τριγωνο σταθερού εμβαδού.png (336.39 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Κυρ Απρ 15, 2018 8:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4040
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Απρ 15, 2018 8:51 pm

Καλησπέρα σε όλους. Όσο απαντούσε ο Χρήστος, έγραφα τις συντεταγμένες των σημείων.

Επειδή έχει ενδιαφέρον η άσκηση, δίνω και το δυναμικό σχήμα (geogebra)
15-4-2018 Γεωμετρία.png
15-4-2018 Γεωμετρία.png (37.84 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές
Έστω P(a, b), με a^2+b^2=5.

Τότε A(a, 0), B(0,b).

Είναι  \displaystyle OP:\;y =  - \frac{x}{2} ,  \displaystyle PC:\;\;y = 2x - 2a + b , οπότε  \displaystyle C\left( {\frac{{4a - 2b}}{5},\;\frac{{b - 2a}}{5}} \right)

Κατόπιν χρησιμοποιούμε κάποιον τους τύπους εμβαδού τριγώνου (παρατηρήστε ότι είναι ορθογώνιο).

To εμβαδόν βγαίνει 1.
Συνημμένα
15-4-2018 Γεωμετρία.ggb
(26.94 KiB) Μεταφορτώθηκε 16 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Απρ 15, 2018 8:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ρουλα Γρ.
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Απρ 15, 2018 7:17 pm

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ρουλα Γρ. » Κυρ Απρ 15, 2018 8:54 pm

Σας ευχαριστώ πολύ!


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9713
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 15, 2018 9:17 pm

Να επισημάνω ότι ( σύμφωνα και με την παραπομπή ) , δεν είναι απλά το εμβαδόν

του τριγώνου σταθερό , αλλά όλες οι πλευρές του είναι σταθερές ( κατά μήκος ) ,

συνεπώς και η περίμετρος !


Ρουλα Γρ.
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Απρ 15, 2018 7:17 pm

Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ρουλα Γρ. » Κυρ Απρ 15, 2018 10:00 pm

Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε και σε μία παρόμοια άσκηση; Η άσκηση είναι :
Έστω η ευθεία \varepsilon :y= \lambda x
όπου \lambda\neq 2
και το σημείο \Phi (1,2)
Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του \Phi '
ως προς την ευθεία \varepsilon
ανήκει σε κύκλο.


Ρουλα Γρ.
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Απρ 15, 2018 7:17 pm

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ρουλα Γρ. » Δευ Απρ 16, 2018 1:23 am

Σας ευχαριστώ πολύ και συγνώμη αν σας έβαλα σε κόπο!


Ratio
Δημοσιεύσεις: 136
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Δευ Απρ 16, 2018 10:18 am

Μπορείς να προσεγγίσεις την άσκηση με δύο τρόπους:
1. Να θεωρήσεις ότι η y=\lambda x
είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος \Phi \Phi '
, συνεπώς αν συμβολίσεις το τυχαίο σημείο Α(x,\lambda x) της ευθείας \varepsilon και \Phi'(x_{o},y_{o}) το συμμετρικό του \Phi οι αποστάσεις (A \Phi) και (A \Phi') είναι ίσες , άρα
\sqrt{(x-x_{o})^{2}+(\lambda x-y_{o})^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+(\lambda x-2)^{2}}
και με πράξεις προκύπτει ότι το \Phi' κινείται σε περιφέρεια με κέντρο το A
ή
2. αυτό που δεν σκέφτηκες και στην προηγούμενη άσκηση ότι από το \Phi άγεται κάθετος στην y=\lambda x με συντελεστή διεύθυνσης m=\frac{-1}{\lambda } , οπότε λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων θα έβρισκες το σημείο τομής M. Στη συνέχεια θα αναζητούσες το συμμετρικο \Phi'(x_{o},y_{o}) έτσι ώστε (M \Phi')=(M \Phi).

Kαι στις δύο επιλύσεις χρειάζεται οπωσδήποτε προσοχή στις πράξεις και φυσικά να τηρηθούν οι περιορισμοί έτσι ώστε στην τελική παράσταση οι ποσότητες που θα προκύψουν να ικανοποιούν τη συνθήκη A^{2}+B^{2}-4A\Gamma > 0
Εικόνα


Ratio
Δημοσιεύσεις: 136
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Δευ Απρ 16, 2018 10:35 am

Ρουλα Γρ. έγραψε:
Κυρ Απρ 15, 2018 10:00 pm
Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε και σε μία παρόμοια άσκηση; Η άσκηση είναι :
Έστω η ευθεία \varepsilon :y= \lambda x
όπου \lambda\neq 2
και το σημείο \Phi (1,2)
Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του \Phi '
ως προς την ευθεία \varepsilon
ανήκει σε κύκλο.
Μπορείς να προσεγγίσεις την άσκηση με δύο τρόπους:
1. Να θεωρήσεις ότι η y=\lambda x
είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος \Phi \Phi '
, συνεπώς αν συμβολίσεις το τυχαίο σημείο Α(x,\lambda x) της ευθείας \varepsilon και \Phi'(x_{o},y_{o}) το συμμετρικό του \Phi οι αποστάσεις (A \Phi) και (A \Phi') είναι ίσες , άρα
\sqrt{(x-x_{o})^{2}+(\lambda x-y_{o})^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+(\lambda x-2)^{2}}
και με πράξεις προκύπτει ότι το \Phi' κινείται σε περιφέρεια με κέντρο το A
ή
2. αυτό που δεν σκέφτηκες και στην προηγούμενη άσκηση ότι από το \Phi άγεται κάθετος στην y=\lambda x με συντελεστή διεύθυνσης m=\frac{-1}{\lambda } , οπότε λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων θα έβρισκες το σημείο τομής M. Στη συνέχεια θα αναζητούσες το συμμετρικο \Phi'(x_{o},y_{o}) έτσι ώστε (M \Phi')=(M \Phi).

Kαι στις δύο επιλύσεις χρειάζεται οπωσδήποτε προσοχή στις πράξεις και φυσικά να τηρηθούν οι περιορισμοί έτσι ώστε στην τελική παράσταση οι ποσότητες που θα προκύψουν να ικανοποιούν τη συνθήκη $A^{2}+B^{2}-4A\Gamma > 0[/tex]
Συνημμένα
circle.ggb
(16.99 KiB) Μεταφορτώθηκε 7 φορές


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Απρ 16, 2018 2:04 pm

Αναλυτική Vs Ευκλείδεια.

Στο σχήμα του Γιώργου από το ορθογώνιο OBPA είναι AB=OC, ίσο με την ακτίνα του κύκλου.

Ακόμα το πεντάγωνο OBPCA είναι εγγράψιμο, γιατί η OP φαίνεται από τις κορυφές του C, A, B υπό ορθές γωνίες.
Έτσι \measuredangle CBA=\measuredangle COA,\,\,\,\measuredangle CAB=\measuredangle COB

Επομένως το τρίγωνο μας μεταβάλλεται παραμένοντας ίσο προς τον εαυτό του, αφού μία πλευρά του και οι προσκείμενες της γωνίες παραμένουν σταθερές σε μέγεθος, άρα έχει σταθερό εμβαδόν.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Απρ 17, 2018 9:11 am

Ρουλα Γρ. έγραψε:
Κυρ Απρ 15, 2018 10:00 pm
Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε και σε μία παρόμοια άσκηση; Η άσκηση είναι :
Έστω η ευθεία \varepsilon :y= \lambda x
όπου \lambda\neq 2
και το σημείο \Phi (1,2)
Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του \Phi '
ως προς την ευθεία \varepsilon
ανήκει σε κύκλο.

Η ευθεία διέρχεται από την αρχή O των αξόνων. Λόγω συμμετρίας είναι O\Phi '= O\Phi . Επομένως το \Phi ' ανήκει στον κύκλο κέντρου O και ακτίνας O\Phi .

:P


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης