Το χαμηλότερο σημείο

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10587
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το χαμηλότερο σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 13, 2018 11:57 am

Το  χαμηλότερο  σημείο.png
Το χαμηλότερο σημείο.png (60.82 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές
Οι κορυφές O,A του παραλληλογράμμου OABC είναι σταθερές , ενώ η C κινείται

επί της ημιευθείας Ok : y=2x του πρώτου τεταρτημορίου . Οι κύκλοι (O,C,B)

και (A,AC) τέμνονται στα σημεία C και S .

α) Βρείτε τις εξισώσεις των δύο κύκλων συναρτήσει του c

β) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας της κοινής τους χορδής

γ) Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου S , για c=1

δ) ( Ανοικτό ) Δείξτε ότι αυτή είναι η "χαμηλότερη" θέση του S . Παρατήρηση :

στη περίπτωση αυτή το S βρίσκεται πάνω στην ευθεία AB ...



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1762
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Το χαμηλότερο σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Ιαν 11, 2019 6:12 pm

Ξεχάστηκε;;


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6464
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το χαμηλότερο σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 11, 2019 10:01 pm

rek2 έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 6:12 pm
Ξεχάστηκε;;
Μάλlον τι φοβούνται όλοι γιατί την ανέβασε Παρασκευή και 13 :lol:


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1817
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Το χαμηλότερο σημείο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Ιαν 12, 2019 9:52 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 13, 2018 11:57 am
Οι κορυφές O,A του παραλληλογράμμου OABC είναι σταθερές , ενώ η C κινείται

επί της ημιευθείας Ok : y=2x του πρώτου τεταρτημορίου . Οι κύκλοι (O,C,B)

και (A,AC) τέμνονται στα σημεία C και S .

α) Βρείτε τις εξισώσεις των δύο κύκλων συναρτήσει του c

β) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας της κοινής τους χορδής

γ) Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου S , για c=1

δ) ( Ανοικτό ) Δείξτε ότι αυτή είναι η "χαμηλότερη" θέση του S . Παρατήρηση :

στη περίπτωση αυτή το S βρίσκεται πάνω στην ευθεία AB ...
Καλησπέρα...

Θα εργαστούμε στο ακόλουθο σχήμα:
Χαμηλότερο σημείο 1.png
Χαμηλότερο σημείο 1.png (24.27 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές
α) Η εξίσωση που διέρχεται από τρία σημεία , δίνεται από την ορίζουσα:
\displaystyle{\begin{vmatrix} x^2+y^2\  \  x \  \  y \  \ 1 \\x_1^2+y_1^ 2\  \ x_1\  \ y_1 \  \ 1\\x_2^2+y_2^2\  \ x_2\  \ y_2 \  \ 1\\x_3^2+y_3^2\  \ x_3\  \ y_3\  \ 1 \end{vmatrix}=0 \  \ (1)},

Αν εφαρμόσουμε τον τύπο αυτό για τα σημεία \displaystyle{O,B,C} σύμφωνα με τις
συντεταγμένες αυτών που δηλώνονται στο σχήμα, τότε θα προκύψει
μετά από πράξεις η εξίσωση:

\displaystyle{x^2+y^2-(2c+5)x-(\frac{15c}{10}-\frac{25}{10})y=0 \  \ (2)}

δηλαδή η εξίσωση του πράσινου κύκλου.

Η εξίσωση του δεύτερου κύκλου προκύπτει ευκολότερα αφού είναι γνωστό το κέντρο και
η ακτίνα του. Αυτή είναι:

\displaystyle{x^2+y^2-10x-5c^2+10c=0 \   \  (3)}

δηλαδή η εξίσωση του κόκκινου κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο \displaystyle{A(5,0)}
και διέρχεται από το σημείο \displaystyle{C(c,2c)}.

β) Είναι γνωστό ότι όταν έχουμε δύο κύκλους με εξισώσεις:

\displaystyle{x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0 }

\displaystyle{x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0}

τότε η κοινή τους χορδή θα είναι:

\displaystyle{(A_1-A_2)x+(B_1-B_2)y+C_1-C_2=0 \  \ (4)}

Ο τύπος (4) δίνει και την κοινή χορδή των κύκλων με εξισώσεις τις (2) και (3),
η οποία έχει εξίσωση:

\displaystyle{CS:(5-2c)x+(\frac{25}{10}-\frac{15c}{10})y+5c^2-10c=0 \  \ (5)}

γ) Αν \displaystyle{c=1}, τότε η εξίσωση (5) γίνεται:

\displaystyle{e_1:3x+y-5=0 \  \ (6)}

Εύκολα τώρα βρίσκουμε την τομή αυτής με έναν από τους δύο αρχικούς κύκλους και τότε
βρίσκουμε:

\displaystyle{x_S=3,\  \ y_S=-4}

όπως φαίνεται και στο δεύτερο ακόλουθο σχήμα:
Χαμηλότερο σημείο 2.png
Χαμηλότερο σημείο 2.png (25.54 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές
Εύκολα τώρα μπορούμε να μελετήσουμε τη συνευθειακότητα των τριών σημείων \displaystyle{S,A,B}
για την περίπτωση αυτή.

δ) Για το ερώτημα αυτό δεν ξέρω αν υπάρχει απλούστερος τρόπος αλλά η μελέτη του ελαχίστου
γίνεται ως εξής:

Από το σύστημα των εξισώσεων (3) και (5) και με τη μέθοδο της αντικατάστασης καθόσον η
(5) είναι γραμμική, βρίσκουμε την ακόλουθη δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς \displaystyle{y}:

\displaystyle{y^2+(\frac{\frac{15c-25}{10}y-5c^2+10c}{5-2c})^2-10\frac{\frac{15c-25}{10}y-5c^2+10c}{5-2c}-5c^2+10c=0 \  \ (7)}

Οι δύο λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι:

\displaystyle{y_C=2c,\  \ y_S=\frac{2(c^3-12c^2+45c-50)}{5c^2-22c+25} \  \ (8)}

Ακόμα είναι:

\displaystyle{\frac{2(c^3-12c^2+45c-50)}{5c^2-22c+25}\geqslant -4 \  \ (9)}

Διότι η (9) ισοδυναμεί με την:

\displaystyle{\frac{2c(c-1)^2}{5c^2-22c+25} \geqslant 0 \  \ (10)}

η οποία είναι αληθής καθόσον

\displaystyle{c \geqslant 0,\  \ 5c^2-22c+25>0}

γιατί το τριώνυμο αυτό έχει \displaystyle{D=-16<0}.

Άρα η τεταγμένη του σημείου \displaystyle{S} έχει "χαμηλότερη" τιμή το \displaystyle{-4} για c=1.

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ. Για τη λύση της εξίσωσης (7) έγινε χρήση λογισμικού για αποφυγή των
κουραστικών πράξεων....


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Το χαμηλότερο σημείο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Σάβ Ιαν 12, 2019 10:00 am

Για το (α) , μπορούμε να πούμε πιο προσαρμοσμένα στη σχολική ύλη ότι το κέντρο βρίσκεται στο σημείο τομής των μεσοκαθέτων των ευθυγράμμων τμημάτων OC & CB


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1817
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Το χαμηλότερο σημείο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Ιαν 12, 2019 10:03 am

Είναι αλήθεια ότι για το πρώτο ερώτημα υπάρχει και πιο απλός τρόπος προσαρμοσμένος στη σχολική ύλη.
Έκανα χρήση της ορίζουσας περισσότερο για συντομία πράξεων.

Κώστας Δόρτσιος
τελευταία επεξεργασία από KDORTSI σε Κυρ Ιαν 13, 2019 7:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Το χαμηλότερο σημείο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Σάβ Ιαν 12, 2019 9:56 pm

KDORTSI έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 10:03 am
Είναι αλήθεια ότι για το πρώτο ερώτημα υπάρχει και πιο απλό τρόπος προσαρμοσμένος στη σχολική ύλη.
Έκανα χρήση της ορίζουσας περισσότερο για συντομία πράξεων.

Κώστας Δόρτσιος
Κατανόησα απόλυτα το σκεπτικο σας αλλά η ορίζουσα αυτή πρέπει λογικά να είναι άγνωστη στην πλειοψηφία των μαθητών . Οφείλω μάλιστα να πω ότι η χρήση της ορίζουσας ενδείκνυται για την αποφυγή λαθών στις πράξεις


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης