Μία παραβολή και δύο κύκλοι

#1

: Μία παραβολή και δύο κύκλοι.png (19.22 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές

Δύο ευθύγραμμα τμήματα AB, CD

έχουν τα άκρα τους πάνω στην παραβολή με εξίσωση y^2=2px, p>0

και τέμνονται σε ένα σημείο

του ημιάξονα Ox.

Αν οι κύκλοι με διαμέτρους AB, CD

τέμνονται, να δείξετε ότι

η κοινή τους χορδή (ή η προέκτασή της) διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 21, 2018 12:14 pm
Μία παραβολή και δύο κύκλοι.png
Δύο ευθύγραμμα τμήματα έχουν τα άκρα τους πάνω στην παραβολή με εξίσωση και τέμνονται σε ένα σημείο του ημιάξονα Αν οι κύκλοι με διαμέτρους τέμνονται, να δείξετε ότι η κοινή τους χορδή (ή η προέκτασή της) διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

: Μια παραβολή και δύο κύκλοι.png (41.9 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Έστω $E\left( a,0 \right)$ (με συγκεκριμένο ) και τυχούσα ευθεία που διέρχεται από το και τέμνει την παραβολή στα σημεία $A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$ . Οι εφαπτόμενες της παραβολής στα σημεία τέμνονται επί της ευθεία (γνωστή πρόταση) και έστω $M\left( -a,b \right),b\in R$ το σημείο τομής τους. Η είναι η πολική του ως προς την παραβολή και επομένως έχει εξίσωση $AB:yb=p\left( x-a \right)$ . Αν είναι το μέσο της τότε $N\left( \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\dfrac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2} \right)$ που είναι βέβαια το κέντρο του κύκλου διαμέτρου . Οι συντεταγμένες των θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων : $\left\{ \begin{matrix} {{y}^{2}}=2px \\ yb=p\left( x-a \right) \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{y}^{2}}=2px \\ x=\dfrac{yb+ap}{p} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{y}^{2}}=2p\dfrac{yb+ap}{p} \\ x=\dfrac{yb}{p}+a \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{y}^{2}}-2yb-2ap=0:\left( 1 \right) \\ x=\dfrac{yb}{p}+a \\ \end{matrix} \right.$
Η εξίσωση $\left( 1 \right)$ έχει ρίζες τις ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ με ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=2b$ και ${{y}_{1}}{{y}_{2}}=-2ap$ οπότε:
${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\left( \dfrac{{{y}_{1}}b}{p}+a \right)\cdot \left( \dfrac{{{y}_{2}}b}{p}+a \right)=\dfrac{{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{b}^{2}}}{{{p}^{2}}}+\dfrac{ab}{p}\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)+{{a}^{2}}=\dfrac{-2ap{{b}^{2}}}{{{p}^{2}}}+\dfrac{2a{{b}^{2}}}{p}+{{a}^{2}}={{a}^{2}}$
Αν είναι η ακτίνα του κύκλου , τότε ${{r}^{2}}=\dfrac{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}{4}$ και ${{\left( ON \right)}^{2}}=\dfrac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}}{4}+\dfrac{{{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)}^{2}}}{4}$
Έτσι ${\left( {ON} \right)^2} - {r^2} = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( {{y_1} + {y_2}} \right)}^2}}}{4} - \left[ {\dfrac{{{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}}}{4}} \right] =$ $\dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( {{y_1} + {y_2}} \right)}^2} - {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}}}{4}$ $= {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = {a^2} - 2ap = ct$

ανεξάρτητο του . Έτσι η δύναμη του σημείου ως προς οποιονδήποτε κύκλο διαμέτρου (για κάθε ευθεία που διέρχεται από το $E\left( a,0 \right)$ είναι σταθερή άρα ανήκει στον ριζικό άξονα όλων αυτών των κύκλων και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί (όχι μόνο για δύο κύκλους)

Στάθης

Μία παραβολή και δύο κύκλοι

Μία παραβολή και δύο κύκλοι

Re: Μία παραβολή και δύο κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση