Μία παραβολή και δύο κύκλοι

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6728
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μία παραβολή και δύο κύκλοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 21, 2018 12:14 pm

Μία παραβολή και δύο κύκλοι.png
Μία παραβολή και δύο κύκλοι.png (19.22 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές
Δύο ευθύγραμμα τμήματα AB, CD έχουν τα άκρα τους πάνω στην παραβολή με εξίσωση y^2=2px, p>0

και τέμνονται σε ένα σημείο E του ημιάξονα Ox. Αν οι κύκλοι με διαμέτρους AB, CD τέμνονται, να δείξετε ότι

η κοινή τους χορδή (ή η προέκτασή της) διέρχεται από την αρχή των αξόνων.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3778
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μία παραβολή και δύο κύκλοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μαρ 04, 2018 7:59 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Φεβ 21, 2018 12:14 pm
Μία παραβολή και δύο κύκλοι.png
Δύο ευθύγραμμα τμήματα AB, CD έχουν τα άκρα τους πάνω στην παραβολή με εξίσωση y^2=2px, p>0 και τέμνονται σε ένα σημείο E του ημιάξονα Ox. Αν οι κύκλοι με διαμέτρους AB, CD τέμνονται, να δείξετε ότι η κοινή τους χορδή (ή η προέκτασή της) διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Μια παραβολή και δύο κύκλοι.png
Μια παραβολή και δύο κύκλοι.png (41.9 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές
Έστω E\left( a,0 \right) (με συγκεκριμένο a ) και τυχούσα ευθεία που διέρχεται από το E και τέμνει την παραβολή στα σημεία A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right) . Οι εφαπτόμενες της παραβολής στα σημεία A,B τέμνονται επί της ευθεία x=-a (γνωστή πρόταση) και έστω M\left( -a,b \right),b\in R το σημείο τομής τους. Η AB είναι η πολική του M ως προς την παραβολή και επομένως έχει εξίσωση AB:yb=p\left( x-a \right) . Αν N είναι το μέσο της AB τότε N\left( \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\dfrac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2} \right) που είναι βέβαια το κέντρο του κύκλου διαμέτρου AB . Οι συντεταγμένες των A,B θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων : \left\{ \begin{matrix} 
  {{y}^{2}}=2px \\  
  yb=p\left( x-a \right) \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  {{y}^{2}}=2px \\  
  x=\dfrac{yb+ap}{p} \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  {{y}^{2}}=2p\dfrac{yb+ap}{p} \\  
  x=\dfrac{yb}{p}+a \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  {{y}^{2}}-2yb-2ap=0:\left( 1 \right) \\  
  x=\dfrac{yb}{p}+a \\  
\end{matrix} \right.
Η εξίσωση \left( 1 \right) έχει ρίζες τις {{y}_{1}},{{y}_{2}} με {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=2b και {{y}_{1}}{{y}_{2}}=-2ap οπότε:
{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\left( \dfrac{{{y}_{1}}b}{p}+a \right)\cdot \left( \dfrac{{{y}_{2}}b}{p}+a \right)=\dfrac{{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{b}^{2}}}{{{p}^{2}}}+\dfrac{ab}{p}\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)+{{a}^{2}}=\dfrac{-2ap{{b}^{2}}}{{{p}^{2}}}+\dfrac{2a{{b}^{2}}}{p}+{{a}^{2}}={{a}^{2}}
Αν r είναι η ακτίνα του κύκλου , τότε {{r}^{2}}=\dfrac{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}{4} και {{\left( ON \right)}^{2}}=\dfrac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}}{4}+\dfrac{{{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)}^{2}}}{4}
Έτσι {\left( {ON} \right)^2} - {r^2} = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( {{y_1} + {y_2}} \right)}^2}}}{4} - \left[ {\dfrac{{{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}}}{4}} \right] = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( {{y_1} + {y_2}} \right)}^2} - {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}}}{4}  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = {a^2} - 2ap = ct

ανεξάρτητο του b . Έτσι η δύναμη του σημείου O ως προς οποιονδήποτε κύκλο διαμέτρου AB (για κάθε ευθεία που διέρχεται από το E\left( a,0 \right) είναι σταθερή άρα ανήκει στον ριζικό άξονα όλων αυτών των κύκλων και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί (όχι μόνο για δύο κύκλους)


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης