Σημείο για γωνία

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12479
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σημείο για γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 27, 2017 1:56 pm

Σημείο για  γωνία.png
Σημείο για γωνία.png (8.16 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC έχει για κορυφές τα σημεία που φαίνονται στο σχήμα .

Αναζητούμε σημείο S στην προέκταση της BA , ώστε \widehat{ASC}=45^0 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7843
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σημείο για γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 27, 2017 3:52 pm

Σημείο για γωνία.png
Σημείο για γωνία.png (36.92 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές
edit : Άρση απόκρυψης
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Δευ Νοέμ 27, 2017 5:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10385
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σημείο για γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 27, 2017 5:04 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 27, 2017 1:56 pm
Σημείο για γωνία.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει για κορυφές τα σημεία που φαίνονται στο σχήμα .

Αναζητούμε σημείο S στην προέκταση της BA , ώστε \widehat{ASC}=45^0 .
Κατασκευή χωρίς υπολογισμούς.
Σημείο για γωνία.png
Σημείο για γωνία.png (9.45 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές
Φέρνω από το C κάθετη στην AB που την τέμνει στο E. Ο κύκλος (E, EC) τέμνει την προέκταση της BA στο ζητούμενο σημείο S.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10385
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σημείο για γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 27, 2017 5:40 pm

Και τώρα οι υπολογισμοί.
Σημείο για γωνία.β.png
Σημείο για γωνία.β.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές
Εύκολα βρίσκουμε με Πυθαγόρειο ότι CA=CB=5, BE=EA=\sqrt 5, CE=ES=2\sqrt 5.

Το σημείο λοιπόν S(x,y) βρίσκεται πάνω στην ευθεία \displaystyle BA:y = 2x + 4 και είναι BS=3\sqrt 5.

\displaystyle {(x + 2)^2} + {(2x + 4)^2} = 45 \Leftrightarrow 5{(x + 2)^2} = 45\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} x = 1,y = 6 \Rightarrow \boxed{S(1,6)}

Γράφτηκε ότι x>0 επειδή το S βρίσκεται στην προέκταση της BA.


Παρατήρηση: Υπάρχει ένα αντίστοιχο σημείο S' στην προέκταση της AB και είναι S'(-3,-2).


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4850
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σημείο για γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Νοέμ 27, 2017 7:03 pm

Καλησπέρα σε όλους. Παρατηρώ ότι είναι από τις σπάνιες φορές που βρίσκομαι εντός φακέλου, ενώ όλοι οι εκλεκτοί φίλοι είναι μάλλον εκτός φακέλου... Αυτό με κάνει αν αισθάνομαι λίγο παράξενα... :D

27-11-2017 Γεωμετρία.jpg
27-11-2017 Γεωμετρία.jpg (26.14 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Στο SBC είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi {\rm B} = \frac{{4 - 0}}{{0 - \left( { - 2} \right)}} = 2,\;\;\;\varepsilon \varphi S = \varepsilon \varphi 45^\circ  = 1 .

Οπότε  \displaystyle \varepsilon \varphi C = \varepsilon \varphi \left( {180^\circ  - \left( {B + S} \right)} \right) =  - \varepsilon \varphi \left( {B + S} \right) =  - \frac{{\varepsilon \varphi {\rm B} + \varepsilon \varphi S}}{{1 - \varepsilon \varphi {\rm B} \cdot \varepsilon \varphi S}} =  - \frac{3}{{1 - 2}} = 3 .

H CS έχει εξίσωση y = -3x+9 και η BA έχει εξίσωση y = 2x+4. Τέμνονται στο S(1,6).


Για το δεύτερο σημείο S΄ στην προέκταση της AB (το οποίο εντόπισε ο Γιώργος στην παραπάνω ανάρτηση) έχουμε:

Στο S΄BC είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi S'{\rm B}C =  - 2,\;\;\;\varepsilon \varphi S' = \varepsilon \varphi 45^\circ  = 1 .

Οπότε  \displaystyle \varepsilon \varphi S'CB = \varepsilon \varphi \left( {180^\circ  - \left( {S'BC + S'} \right)} \right) =  - \frac{{\varepsilon \varphi S'{\rm B}C + \varepsilon \varphi S'}}{{1 - \varepsilon \varphi {\rm B} \cdot \varepsilon \varphi C}} = \frac{1}{{1 + 2}} = \frac{1}{3} .

H CS΄ έχει εξίσωση  \displaystyle y = \frac{1}{3}x - 1 και η BA έχει εξίσωση y = 2x+4. Τέμνονται στο S(-3,-2).


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2079
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Σημείο για γωνία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Νοέμ 27, 2017 7:55 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 27, 2017 1:56 pm
Το τρίγωνο \displaystyle ABC έχει για κορυφές τα σημεία που φαίνονται στο σχήμα .

Αναζητούμε σημείο S στην προέκταση της BA , ώστε \widehat{ASC}=45^0 .
Κατ' αρχήν η λέξη "αναζητούμε" έχει δυο σημασίες:
1η) Αναζητούμε σημείο = να βρεθεί το σημείο ύστερα από μια γεωμετρική κατασκευή.
2η) Αναζητούμε σημείο = να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου αυτού.

Η απάντηση με την πρώτη σημασία γίνεται εύκολα με την κατασκευή του τόξου που βλέπει
τη δοθείσα πλευρά \displaystyle{AC} με γωνία ίση με \displaystyle{45^o} και την προέκταση της \displaystyle{BA}. Η τομή
του τόξου αυτού και της ευθείας αυτής δίνουν το σημείο \displaystyle{S}.(Σχήμα 1)
Σημείο για γωνία 1.png
Σημείο για γωνία 1.png (23.81 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές
Η απάντηση με τη δεύτερη σημασία είναι ως εξής:
Εργαζόμαστε στο Σχήμα 2 και υπολογίζουμε τις εξισώσεις των πλευρών \displaystyle{AB} και \displaystyle{CS}
Σημείο για γωνία 2.png
Σημείο για γωνία 2.png (17.93 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές
Εύκολα διαπιστώνεται ότι το τρίγωνο \displaystyle{ABC} είναι ισοσκελές, δηλαδή \displaystyle{AC=BC}.

- Η εξίσωση της \displaystyle{AB} είναι:

\displaystyle{\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1}

Δηλαδή: \displaystyle{AB:y=2x+4 \  \ (1)}

- Η εξίσωση της \displaystyle{CS} είναι:

\displaystyle{y=\lambda (x-3) \  \ (2)}

όπου \displaystyle{\lambda=tan(q)=tan(\phi+45^o)=\frac{1+tan(\phi)}{1-tan(\phi)}=-3\  \ (2)}

διότι από τη σχέση:

\displaystyle{\phi=45^o+\theta}

προκύπτει

\displaystyle{tan(\phi)=\frac{1+tan(\theta)}{1-tan(\theta)}\  \ (3)}

και επειδή από το σχήμα εύκολα διαπιστώνεται ότι

\displaystyle{tan(\phi)=2}

άρα από την (3) τελικά έχουμε

\displaystyle{tan(\theta)=\frac{1}{3} \  \ (4)}

κι έτσι από τη σχέση αυτή προκύπτει η (2).

Άρα η εξίσωση της \displaystyle{CS} είναι τελικά:

\displaystyle{CS:y=(-3)(x-3) \  \  (5)}

Από τις (1) και (5) προκύπτουν οι συντεταγμένες του σημείου τομής αυτών:

\displaystyle{x=1,\  \ y=6}

Δηλαδή \displaystyle{S(1,6)}

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες