κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Stef
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τετ Οκτ 25, 2017 9:58 pm

κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stef » Τετ Οκτ 25, 2017 10:13 pm

Άσκηση
Σε τετράπλευρο ABCD είναι M,N τα μέσα των AB,CD
Θεωρούμε τα σημεία K,L,T ώστε:

\overrightarrow{KA} + 3\overrightarrow{KC} = 0
\overrightarrow{LB} + 3\overrightarrow{LD} = 0
\overrightarrow{TM} + 3\overrightarrow{TN} = 0

Να δειχθεί ότι τα K,L,T είναι συνευθειακά.
ΚΑΠΟΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ?



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7862
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Οκτ 26, 2017 9:25 am

Stef, καλωσόρισες στο :logo:

Σε παρακαλώ διάβασε τον κανονισμό μας και κυρίως το κομμάτι που αφορά την γραφή σε \LaTeX. Μπορείς να βρεις κάποιες βασικές οδηγίες εδώ: Εισαγωγικές Οδηγίες για Εισαγωγή Μαθηματικού Κειμένου. (Για πρώτη φορά, διόρθωσα την γραφή εγώ.) Επίσης μην γράφεις κεφαλαία σε σημαία που δεν χρειάζεται διότι είναι σαν να φωνάζεις.

Όσον αφορά την άσκηση, πριν δώσουμε την όποια λύση, πες μας τι έχεις δοκιμάσει και μέχρι που έχεις φτάσει.


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1947
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Πέμ Οκτ 26, 2017 11:07 am

Stef έγραψε:
Τετ Οκτ 25, 2017 10:13 pm
Άσκηση
Σε τετράπλευρο ABCD είναι M,N τα μέσα των AB,CD
Θεωρούμε τα σημεία K,L,T ώστε:

\overrightarrow{KA} + 3\overrightarrow{KC} = 0
\overrightarrow{LB} + 3\overrightarrow{LD} = 0
\overrightarrow{TM} + 3\overrightarrow{TN} = 0

Να δειχθεί ότι τα K,L,T είναι συνευθειακά.
ΚΑΠΟΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ?
Αρκεί να αποδείξεις ότι δύο διανύσματα που φτιάχνονται από αυτά τα σημεία είναι παράλληλα.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9904
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 26, 2017 8:47 pm

συνευθειακότητα με διανύσματα.png
συνευθειακότητα με διανύσματα.png (10.16 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές
Ισχύει μάλιστα κάτι ισχυρότερο : Το T είναι το μέσο του KL .

Υπόδειξη : Είναι \vec{KT}=\vec{KC}+\vec{CN}+\vec{NT}=....\dfrac{1}{8}\vec{AB}+\dfrac{3}{8}\vec{CD}

Παρόμοια βρίσκουμε : \vec{KL}=\dfrac{1}{4}\vec{AB}+\dfrac{3}{4}\vec{CD} =2\vec{KT} , ό .έ . δ .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10369
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 26, 2017 9:00 pm

Demetres έγραψε:
Πέμ Οκτ 26, 2017 9:25 am
πριν δώσουμε την όποια λύση, πες μας τι έχεις δοκιμάσει και μέχρι που έχεις φτάσει.
:10sta10:


Ratio
Δημοσιεύσεις: 146
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Οκτ 11, 2018 11:20 am

Λύση παίρνοντας ως σημείο αναφοράς O

\vec{KA}+3\vec{KC}=\vec{0} \Leftrightarrow \vec{OA}-\vec{OK}+3\vec{OC}-3\vec{OK}=\vec{0} \Leftrightarrow  \vec{OA}+3\vec{OC}=4\vec{OK} (1)

Oμοίως από τις υπόλοιπες δοθείσες προκύπτουν οι σχέσεις:
 \vec{OB}+3\vec{OD}=4\vec{OL} (2)
 \vec{OM}+3\vec{ON}=4\vec{OT} (3)

Αφαιρούμε κατά μέλη τις (1),(2)  \vec{OA}-\vec{OB}+3(\vec{OC}-\vec{OD})=4(\vec{OK}-\vec{OL}) \Leftrightarrow  
           \vec{BA}+3\vec{DC}=4\vec{TL}
 -\vec{AB}+3\vec{DC}=4\vec{LK}  (4)

Αφαιρούμε κατά μέλη τις (2),(3) \vec{MB}+3\vec{ND}=4\vec{TL} (5)

Όμως \vec{MB}=\frac{\vec{AB}} {2} και  \vec{ND}=-\frac{\vec{DC}}{2}  οπότε η (5) ισοδύναμα γίνεται
 \frac{1}{2}\vec{AB} -\frac{3}{2} \vec{DC} = 4\vec{TL}  \Leftrightarrow \vec{AB}=3\vec{DC}=8\vec{TL}  (6)

Από την (4) και την (6) προκύπτει ότι 4\vec{LK}=8\vec{TL} \Leftrightarrow \vec{TL}=\frac{1}{2}\vec{LK}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης