Βασανιστική τριχοτόμηση

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Βασανιστική τριχοτόμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 13, 2017 9:05 pm

Βασανιστική  τριχοτόμηση.png
Βασανιστική τριχοτόμηση.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές
Θέλουμε να τριχοτομήσουμε την ακτίνα AB=r , ενός κύκλου (B). Εντάξει , γνωρίζετε

τρόπους να το κάνετε αλλά τώρα πρέπει να ελέγξετε τον βασανιστικό που σας προτείνω :

Σχεδιάζουμε μια ορθή γωνία \hat{O} και κάνουμε τον κύκλο εφαπτόμενο των πλευρών της ,

στα σημεία A,S , όπως φαίνεται στο σχήμα . Φέρουμε την παράλληλη προς την OA

σε απόσταση OQ=\dfrac{2r}{5} από το O και ονομάζουμε P το υψηλότερο από τα σημεία

τομής της με τον κύκλο . Η εφαπτομένη στο P τέμνει την OA στο T.

Αν οι ST,SP τέμνουν την AB στα K,L , δείξτε ότι : AK=KL=LB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4022
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Βασανιστική τριχοτόμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 15, 2017 10:52 pm

KARKAR έγραψε:Βασανιστική τριχοτόμηση.pngΘέλουμε να τριχοτομήσουμε την ακτίνα AB=r , ενός κύκλου (B). Εντάξει , γνωρίζετε τρόπους να το κάνετε αλλά τώρα πρέπει να ελέγξετε τον βασανιστικό που σας προτείνω :
Σχεδιάζουμε μια ορθή γωνία \hat{O} και κάνουμε τον κύκλο εφαπτόμενο των πλευρών της , στα σημεία A,S , όπως φαίνεται στο σχήμα . Φέρουμε την παράλληλη προς την OA σε απόσταση OQ=\dfrac{2r}{5} από το O και ονομάζουμε P το υψηλότερο από τα σημεία τομής της με τον κύκλο . Η εφαπτομένη στο P τέμνει την OA στο T. Αν οι ST,SP τέμνουν την AB στα K,L , δείξτε ότι : AK=KL=LB .
Ας γίνει το θέλημά σου αγαπητέ Θανάση . Ας «βασανιστούμε!» :roll:

\bullet Έστω D το σημείο τομής της CP με την OA , με C το αντιδιαμετρικό του A ως προς τον \left( B,r \right) και M\equiv AC\cap PA .

Με \angle APC={{90}^{0}} και TP=TA εφαπτομενικά τμήματα του \left( B \right) θα είναι T το μέσο της AD \Rightarrow \boxed{TA = \dfrac{{AD}}{2}}:\left( 1 \right) και

PM = \sqrt {AM \cdot MC}  = \sqrt {OQ \cdot \left( {2r - OQ} \right)}  = \sqrt {\dfrac{{2r}}{5} \cdot \left( {2r - \dfrac{{2r}}{5}} \right)}  \Rightarrow \boxed{PM = \dfrac{{4r}}{5}}:\left( 2 \right).

Με PM\parallel AD \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{PM}}{{CM}} \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{2r}} = \dfrac{{\dfrac{{4r}}{5}}}{{2r - \dfrac{{2r}}{5}}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow AD = r \Rightarrow \boxed{TA = \dfrac{r}{2}}:\left( 3 \right)
[attachment=0]Βασανιστική τριχοτόμηση.png[/attachment]
\bullet Από AK\parallel OS \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{OS}} = \dfrac{{TA}}{{TO}}\mathop  = \limits^{\left( 3 \right)} \dfrac{1}{3}\mathop  \Rightarrow \limits^{OS = AB = r} \boxed{AK = \dfrac{r}{3}}:\left( 4 \right), PQ = PM + MQ\mathop  = \limits^{\left( 2 \right)} \dfrac{{4r}}{5} + r \Rightarrow \boxed{PQ = \dfrac{{9r}}{5}}:\left( 5 \right)

και QS = OS - OQ = r - \dfrac{{2r}}{5} \Rightarrow \boxed{QS = \dfrac{{3r}}{5}}:\left( 6 \right). Από \left( 5 \right),\left( 6 \right) \Rightarrow \boxed{\dfrac{{QS}}{{PQ}} = \dfrac{1}{3}}:\left( 7 \right).

\bullet Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων \vartriangle BSL,\vartriangle QPS\left( {SB\parallel PQ} \right) \Rightarrow

\dfrac{{LB}}{{SB}} = \dfrac{{QS}}{{PQ}}\mathop  = \limits^{\left( 7 \right)} \dfrac{1}{3}\mathop  \Rightarrow \limits^{QS = r} LB = \dfrac{r}{3} \mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right),AB = r} \boxed{AK = KL = KB = \dfrac{r}{3}} και η «βασανιστική» τριχοτόμηση έχει επιτευχθεί.


Στάθης
Συνημμένα
Βασανιστική τριχοτόμηση.png
Βασανιστική τριχοτόμηση.png (21.73 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης