mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 09, 2017 11:49 am**

Δίνονται τα διανύσματα $\vec \alpha ,\vec \beta$ για τα οποία ισχύουν:

$\left( {\vec \beta + 2\vec \alpha } \right) \bot \left( {\vec \alpha - \vec \beta } \right),\,\,\,\vec \alpha \ne \vec \beta$ και $2\vec \alpha + \vec \beta \ne \vec 0$

1) Να αποδειχτεί ότι $\vec \alpha ,\vec \beta$ μη συγγραμμικά

2) Αν για το διάνυσμα $\vec \gamma$ ισχύει $\left( {\vec \gamma - \vec \beta } \right)\,|\,|\,\vec \alpha \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vec \gamma \,|\,|\,\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right)$ να αποδειχτεί ότι $\vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha$

3)Δίνεται ότι $\left| {\vec \alpha } \right| = \sqrt 2$ . Να υπολογιστεί το μέτρο του $\vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 09, 2017 1:09 pm**

Καλημέρα σε όλους,

Έστω ότι $\vec{a}//\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}=k\vec{b}$ . Αν τώρα βάλουμε αυτή την σχέση στην δοθείσα θα έχουμε
k=1

ή

. Πράγμα άτοπο λόγω των περιορισμών. Άρα τα διανύσματα είναι μη συγγραμμικά.
ii)

Έστω $\vec{\gamma }-\vec{b}=\lambda \vec{a}$ και $\vec{\gamma }=\mu ( \vec{a} + 2\vec{b})$ .Άρα από τις δύο τελευταίες προκύπτει $\lambda\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}\mu+2\mu\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}(\lambda-\mu)=\vec{b}(2\mu-1)$ και επειδή τα διανύσματα α,β είναι μη συγγραμμικά έπεται το ζητούμενο.
iii)

Αν αναπτύξουμε κανονικά την δοθείσα αρχική σχέση(εσωτερικό γινόμενο 0) και αντικαταστήσουμε το $|\vec{a}|^2$ με

τότε θα προκύψει
$\vec{b}^2+\vec{a}\vec{b}=4$ και τέλος αν αντικαταστήσουμε αυτό στο ανάπτυγμα $\vec{\gamma}^2=(\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a})^2$
θα προκύψει(αν δεν το έχω χάσει κάπου) $|\vec{\gamma}|=(3\sqrt2)/2$

Φιλικά,
Θράσος

mathematica.gr

Διανυσματική

Διανυσματική

Re: Διανυσματική