Γεωμετρική

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Γεωμετρική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Πέμ Δεκ 22, 2016 11:02 am

Δίνεται τρίγωνο ABC και η διάμεσος AM. Έστω σημείο E στην πλευρά AC ώστε \displaystyle{\vec{AE}=\frac{3}{5}\vec{AC}} και σημείο D στη διάμεσο AM ώστε \displaystyle{\vec{AD}=\frac{3}{4}\vec{AM}}

1) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\vec{BD}=\frac{3}{8}\vec{AC}-\frac{5}{8}\vec{AB}\,\,,\vec{BE}=\frac{3}{5}\vec{AC}-\vec{AB}}.

2) Να αποδείξετε ότι τα σημεία B,D,E είναι συνευθειακά.

3) Αν P μέσο της διαμέσου AM και Z σημείο ώστε \displaystyle{vec{BZ}=\frac{2}{5}\vec{BD}} να δειχθεί ότι το τετράπλευρο RZMEείναι παραλληλόγραμμο.

4) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{x^2+\sqrt{8|\vec{AM}|} \cdot x +|\vec{AB}|+|\vec{AC}|>0\,\,\,, \forall x \in R}.



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 343
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Γεωμετρική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Δεκ 27, 2016 9:59 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται τρίγωνο ABC και η διάμεσος AM. Έστω σημείο E στην πλευρά AC ώστε \displaystyle{\vec{AE}=\frac{3}{5}\vec{AC}} και σημείο D στη διάμεσο AM ώστε \displaystyle{\vec{AD}=\frac{3}{4}\vec{AM}}

1) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\vec{BD}=\frac{3}{8}\vec{AC}-\frac{5}{8}\vec{AB}\,\,,\vec{BE}=\frac{3}{5}\vec{AC}-\vec{AB}}.

2) Να αποδείξετε ότι τα σημεία B,D,E είναι συνευθειακά.

3) Αν P μέσο της διαμέσου AM και Z σημείο ώστε \displaystyle{vec{BZ}=\frac{2}{5}\vec{BD}} να δειχθεί ότι το τετράπλευρο RZMEείναι παραλληλόγραμμο.

4) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{x^2+\sqrt{8|\vec{AM}|} \cdot x +|\vec{AB}|+|\vec{AC}|>0\,\,\,, \forall x \in R}.
Καλησπέρα :santalogo: και χρόνια πολλά! :mathexmastree:
Γεωμετρική.png
Γεωμετρική.png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές
1) Είναι \displaystyle{\vec{BD}= \vec{AD} - \vec{AB}= \frac{3}{4}\vec{AM}-\vec{AB}=\frac{3}{4} \frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2} - \vec{AB} = \frac{3}{8} \vec{AC} -  \frac{5}{8} \vec{AB} .
Άρα 8\vec{BD}= 3\vec{AC} - 5\vec{AB}. (1)

Επίσης \displaystyle{\vec{BE}= \vec{AE} - \vec{AB} = \frac{3}{5} \vec{AC} -  \vec{AB} .
Άρα 5\vec{BE}= 3\vec{AC} - 5\vec{AB}. (2)

2) Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι 8\vec{BD} = 5\vec{BE}. Άρα τα σημεία B,D,E είναι συνευθειακά.

3) \vec{DM} = \dfrac{1}{4}\vec{AM} και \vec{PD} =\vec{PM}+\vec{MD} =\vec{PM}-\vec{DM} = \dfrac{1}{2}\vec{AM} -  \dfrac{1}{4}\vec{AM} = \dfrac{1}{4}\vec{AM}.
Άρα |\vec{DM} |= |\vec{PD} |

Τώρα έχουμε: \displaystyle{\vec{ZD}= \vec{BD} - \vec{BZ}= \vec{BD}- \frac{2}{5}\vec{BD}=\frac{3}{5} \vec{BD} = \frac{3}{5}\left ( \dfrac{3}{8}\vec{AC} - \dfrac{5}{8}\vec{AB}\right ) = \dfrac{9}{40}\vec{AC} - \dfrac{3}{8}\vec{AB} .

Επίσης \displaystyle{\vec{DE}= \vec{BE} - \vec{BD}= \frac{3}{5}\vec{AC}- \vec{AB}- \frac{3}{8}\vec{AC} + \frac{5}{8}\vec{AB}    = \dfrac{9}{40}\vec{AC} - \dfrac{3}{8}\vec{AB} .

Άρα |\vec{ZD} |= |\vec{DE} |. Επομένως PZME: παραλληλόγραμμο, αφού οιι διαγώνιοί του διχοτομούνται.

4) Από την δευτεροβάθμια ανίσωση προκύπτει:
\Delta = 8 \left | \vec{AM} \right |- 4\left ( \left | \vec{AB} \right |+\left | \vec{AC} \right | \right )= 4\left [ \left | 2\vec{AM} \right |- \left ( \left | \vec{AB} \right |+\left | \vec{AC} \right | \right ) \right ] = 
 
= 4 \left [ \left |\vec{AB}+\vec{AC} \right |- \left | \vec{AB} \right |- \left | \vec{AC} \right |\right ]<0,
από τριγωνική ανισότητα.
Συνεπώς η ανισότητα ισχύει.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης