Ορθόκεντρο

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθόκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 19, 2016 12:14 pm

Ορθόκεντρο.png
Ορθόκεντρο.png (16.3 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές
Αξιοποιώντας την άσκηση του Ροδόλφου εδώ : Οι κορυφές του τριγώνου \displaystyle ABC , είναι σημεία

του κύκλου x^2+y^2=r^2 . Τα ύψη AA',BB',CC' τεμνόμενα , ορίζουν το ορθόκεντρο H .

Δείξτε ότι \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH} . Χρησιμοποιήστε για ξεκίνημα τα δεδομένα του σχήματος .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12250
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ορθόκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 19, 2016 12:53 pm

KARKAR έγραψε: Δείξτε ότι \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH} .
Για την ιστορία, ο τύπος αυτός ονομάζεται "τύπος του Sylvester" (*). Π.χ. αναφέρεται ως τέτοιος στο προ αιώνος δημοσιευέν
(πρώτα στα Γερμανικά αλλά αργότερα και σε Αγγλική μετάφραση) βιβλίο του Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics.

Ο Sylvester πήγε και αντίστροφα: Ορίζουμε το H ως άνω. Mπορούμε τώρα να δείξουμε ότι τα AH, BH, CH είναι έκαστο κάθετο στην απέναντι πλευρά. Με άλλα λόγια έχουμε μία πολλή κομψή, της μιας γραμμής, απόδειξη ότι τα τρία ύψη του τριγώνου συγκλίνουν (το H βρίσκεται και στα τρία!)

(*) Η αλήθεια είναι ότι έψαξα Άπαντα του Sylvester, δημοσιευθέντα μετά θάνατον, και δεν εντοπίζω τον εν λόγω τύπο. Σημειώνω όμως ότι ο Sylvester έγραψε και ένα τεράστιο όγκο λύσεων και προβλημάτων σε ευρείας κυκλοφορίας περιοδικά, Μαθηματικoύ και μη περιεχομένου, όπως το Educational Times. Αυτά τα έχω ψάξει μόνο εν μέρη λόγω της δυσκολίας τέτοιας έρευνας από την ... Ψωροκώσταινα. Πιστέψτε με όμως ότι έχω μελετήσει αρκετές εκατοντάδες (ίσως χιλιάδες;) σχετικές σελίδες. Μέχρι ολοκλήρωσης, δεν μπορώ να αποφανθώ επί του θέματος.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθόκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Οκτ 19, 2016 1:22 pm

KARKAR έγραψε:Ορθόκεντρο.pngΑξιοποιώντας την άσκηση του Ροδόλφου εδώ : Οι κορυφές του τριγώνου \displaystyle ABC , είναι σημεία

του κύκλου x^2+y^2=r^2 . Τα ύψη AA',BB',CC' τεμνόμενα , ορίζουν το ορθόκεντρο H .

Δείξτε ότι \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH} . Χρησιμοποιήστε για ξεκίνημα τα δεδομένα του σχήματος .
Μετά από τα πολύ ενδιαφέροντα στοιχεία που μας έδωσε ο εξαίρετος καθηγητής μου κ.Λάμπρου , μια απάντηση με τα δεδομένα του σχήματος..


\displaystyle{{\lambda _{AC}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow {\lambda _{BB'}} = 2 \Rightarrow BB':y + 3 = 2(x + 4) \Rightarrow y = 2x + 5}

\displaystyle{{\lambda _{AB}} = 7 \Rightarrow {\lambda _{CC'}} =  - \frac{1}{7} \Rightarrow CC':y =  - \frac{1}{7}\left( {x - 5} \right)}

\displaystyle{CC' \cap BB' = H( - 2,1) \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( {1, - 3} \right)}

Με \displaystyle{M(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})} μέσον της \displaystyle{BC}\displaystyle{ \Rightarrow 2\overrightarrow {OM}  = \left( {1, - 3} \right) = \overrightarrow {AH}  \Rightarrow \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH}  - \overrightarrow {OA}  \Rightarrow \boxed{\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} }}

(Βέβαια είναι γνωστό από την Ευκλείδεια ότι \displaystyle{(AH) = 2(OM)})


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ορθόκεντρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 19, 2016 1:25 pm

Αφού φανερώθηκε η λύση , δείτε μιαν απόδειξη του θεωρήματος Sylvester εδώ .

Τώρα το ζητούμενο είναι : Βρείτε τις συντεταγμένες του ορθοκέντρου του σχήματος !


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12250
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ορθόκεντρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 19, 2016 1:39 pm

KARKAR έγραψε:Αφού φανερώθηκε η λύση , δείτε μιαν απόδειξη του θεωρήματος Sylvester εδώ .
Ας διευκρινίσω ότι η εν λόγω παραπομπή είναι κατά λέξη από τον Dorrie που προανέφερα.

Η απόδειξη του Euler στην παραπομπή που δίνει, δηλαδή στο

Solutio facilis problematicum quorundam geometricorum difficillimorum,


που εμφανίστηκε στο Novi Commentarii Academiae Petropolitanae (1765)

είναι πολλή διαφορετική και έχει πολλές πράξεις (είναι δε μάλλον άκομψη). Την γνωρίζω αλλά είναι δύσκολο να την πληκτρολογήσω. Θα ψάξω όμως στο αρχείο Euler να την εντοπίσω και θα δώσω την παραπομπή (για τους Λατινομαθείς).

Κάντε όμως λίγο υπομονή γιατί έχω μάθημα, συμβούλιο, τρεχάματα, ετοιμάζομαι για ταξίδι, και λοιπά και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9372
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθόκεντρο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 19, 2016 1:47 pm

KARKAR έγραψε:Αφού φανερώθηκε η λύση , δείτε μιαν απόδειξη του θεωρήματος Sylvester εδώ .

Τώρα το ζητούμενο είναι : Βρείτε τις συντεταγμένες του ορθοκέντρου του σχήματος !
\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} 
  AA':y - 4 =  - 3(x + 3) \hfill \\ 
  CC':y =  - \frac{1}{7}(x - 5) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow H( - 2,1)}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12250
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ορθόκεντρο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 19, 2016 6:03 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: Θα ψάξω όμως στο αρχείο Euler να την εντοπίσω και θα δώσω την παραπομπή (για τους Λατινομαθείς).
Όπως υποσχέθηκα, γράφω την παραπομπή:

http://eulerarchive.maa.org//enestrom.php?topic=avail

Όταν φτάσετε εκεί, ανοίξτε την εργασία 325. Δυστυχώς υπάρχει μόνο στα Λατινικά αλλά η εν λόγω ιστοσελίδα μας ενημερώνει ότι έχει αναλάβει Αγγλική μετάφρασή της ο

langkids(παπάκι) rushmore.com

Αχ να το ήξερα, γιατί πριν από μερικά χρόνια που την μελετούσα, κρατούσα στο ένα χέρι ένα ογκώδες λεξικό Λατινικών (*).

Στον ίδιο τόπο θα βρείτε τεράστιο όγκο εργασιών του Euler, επί παντός επιστητού, αρκετό για να σας απασχολήσει μία ζωή. Από τις 866 εργασίες του Euler είναι μεταφρασμένες στα Αγγλικά μόνον οι περί τις 150.

ΜΗΝ ΑΜΕΛΗΣΕΤΕ να πλοηγηθείτε στον κύριο ιστότοπο με το αρχείο του Euler, στο Euler Archive

http://eulerarchive.maa.org/

της Mathematical Association of America.



(*) Όταν ήμουν μαθητής έκανα ελάχιστα Λατινικά: Ήταν τότε υποχρεωτικά Σχολείο και οι παλιοί θα θυμούνται το βιβλίο που ξεκίναγε στο πρώτο μάθημα με το "Regina rosas amat. Agricοla silvam et umbram silvarum amat. Femina agricοlae cenam parat." Όλοι, μα όλοι, οι μαθητές ήξεραν τι έλεγε η φράση αυτή, και ήξεραν να κλίνουν το ρήμα amo-amas-amat-... Από κει και πέρα μάλλον σε αυτό το σημείο τέλειωναν τα Λατινικά τους, εκτός αν είχαν αυστηρό φιλόλογο που επέμενε να διαβάζουμε Κικέρωνα. Αν ήξερα ότι μια μέρα θα ήθελα να διαβάσω Euler, ίσως να το έπαιρνα αλλιώς...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης