Μέγιστο γινόμενο

KARKAR · #1

: Μέγιστο γινόμενο.png (4.19 KiB) Προβλήθηκε 2225 φορές

Το σημείο

κινείται στον ημιάξονα

και η

είναι παράλληλη

προς τον x'x

. Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SP\cdot PQ$

Διαφορικός Λογισμός επιτρεπτός ! ( Στόχος η λύση χωρίς παραγώγους )

ealexiou · #2

: Μέγιστο γινόμενο.png (7.32 KiB) Προβλήθηκε 2197 φορές

Αν

μέσον του

τότε $SP\cdot PQ=2SP\cdot PM$ και επειδή SP+PM=3 (=st)

το $SP\cdot PM$ γίνεται μέγιστο αν SP=PM=1.5

άρα $(SP\cdot PQ)_{max}=1.5\cdot3=4.5$

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Μέγιστο γινόμενο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το σημείο κινείται στον ημιάξονα και η είναι παράλληλη

προς τον . Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SP\cdot PQ$

Διαφορικός Λογισμός επιτρεπτός ! ( Στόχος η λύση χωρίς παραγώγους )

Καλημέρα Θανάση!

: Μέγιστο γινόμενο...png (7.44 KiB) Προβλήθηκε 2183 φορές

Έστω

. H ευθεία y=t

τέμνει το ημικύκλιο στα σημεία $\displaystyle{P\left( {3 - \sqrt {4 - {t^2}} ,t} \right),Q\left( {3 + \sqrt {4 - {t^2}} ,t} \right)}$ .

$\displaystyle{SP \cdot PQ = 2\left( {{t^2} - 4 + 3\sqrt {4 - {t^2}} } \right)}$ . Θέτω $\boxed{\sqrt{4-t^2}=y}$ και έχω:

$\displaystyle{SP \cdot PQ = - 2({y^2} - 3y) = - 2{\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{9}{2} \le \frac{9}{2}}$

Άρα $\boxed{{(SP \cdot PQ)_{\max }} = \frac{9}{2}}$ , για $\displaystyle{y = \frac{3}{2} \Leftrightarrow t = \frac{{\sqrt 7 }}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{S\left( {0,\frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)}$

Γεια σου Ευθύμη! Τώρα σε είδα.

ealexiou · #4

george visvikis έγραψε:
KARKAR έγραψε:
Μέγιστο γινόμενο.png
Το σημείο κινείται στον ημιάξονα και η είναι παράλληλη

προς τον . Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SP\cdot PQ$

Διαφορικός Λογισμός επιτρεπτός ! ( Στόχος η λύση χωρίς παραγώγους )
Καλημέρα Θανάση!

Γεια σου Ευθύμη! Τώρα σε είδα.

Γεια σου Γιώργο! (Είπα και 'γω..., τι άλλαξε και δεν χαιρετάει ο Γιώργος;)

#5

ealexiou έγραψε:
Μέγιστο γινόμενο.png
Αν μέσον του τότε $SP\cdot PQ=2SP\cdot PM$ και επειδή το $SP\cdot PM$ γίνεται μέγιστο αν άρα $(SP\cdot PQ)_{max}=1.5\cdot3=4.5$

Χαιρετώ όλους.

Λύση με Ευκλείδεια Γεωμετρία και με το κλασσικό τρόπο (του σταθερού αθροίσματος δύο μεταβλητών), υποχρεούμαι να την

Φιλικά Νίκος

#6

Συνέχεια από φάκελο Α΄ Λυκείου, σε πιο κατάλληλο φάκελο. Με τη συναίνεση του Θανάση μετέφερα εδώ το θέμα, αντί του φακέλου των διασκεδαστικών μαθηματικών.

Δείτε το σχετικό θέμα ΕΔΩ.

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 09, 2021 7:48 pm

Σάς θυμίζει κάτι το όμορφο αυτό θέμα;

Δεν βλέπω να απαντάτε, άρα το ξεχάσατε! Πολύ ευχάριστο αυτό. Ευκαιρία να διασκεδάσουμε ξανά!

Το τμήμα SPT

είναι παράλληλο προς την διάμετρο AB=d

του ημικυκλίου.
Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου : $SP \cdot PT$

: 17-02-2021 Γεωμετρία.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

#7

Προτείνω για ξεκίνημα μια παραλλαγή του θέματος του Θανάση:

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 21, 2016 7:45 am
Το σημείο κινείται στον ημιάξονα και η είναι παράλληλη προς τον . Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SP\cdot PQ$

: 22-02-2021 Γεωμετρία.png (5.89 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές

Μετά ας γενικεύσουμε και ας το συζητήσουμε (διερευνήσουμε).

edit (22-2): Άλλαξα λιγάκι το σχήμα για να γίνει πιο ενδιαφέρον.

#8

Καλησπέρα σε όλους!

Ίσως δεν έγινε κατανοητή η αλλαγή στο σχήμα του Θανάση. Μετακίνησα το ημικύκλιο δύο μονάδες δεξιά.

Αν έγινε κατανοητή, τότε, φοβάμαι, ότι δεν θέλετε να διασκεδάσετε

Παρακάτω το "χαλάω" λίγο για να προκαλέσω το ενδιαφέρον. Ανοίξτε το κουτάκι ΜΟΝΟΝ αν δεν έχετε διάθεση για διασκέδαση.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αν δεν δοθεί κάποια συνέχεια, σε εύλογο χρονικό διάστημα λίγων ημερών, θα δώσω απάντηση και τη γενίκευση, για να μην μείνει ξέμπαρκο...

nickchalkida · #9

Η κακοκαιρία είχε και το τίμημά της!
Αυτό που ήταν διασκεδαστικό ... μια καθαρή διατύπωση της λύσης.
Ελπίζω η παρακάτω να ικανοποιεί τα κριτήρια του Γιώργου.

Ας είναι

το μέσο του

και

το μέσο του

.

$\displaystyle{ \begin{aligned} (SP \cdot PQ)_{max} &= (SP \cdot {PQ\over 2})_{max} = (SP \cdot PC)_{max} = \cr & = (DC^2 - DP^2)_{max} = (ct^2 - DP^2)_{max} = DP_{min} \end{aligned} }$

Για ${OK \over 2} < R$ : τότε το ορίζεται σαν το σημείο τομής του κύκλου και της μεσοκαθέτου του τμήματος .

Για ${OK \over 2} \geq R$ : τότε το $DP_{min}$ επιτυγχάνεται όταν το ταυτίζεται με το και τότε $(SP \cdot PQ)_{max} = OA \cdot OB$

#10

Καλημέρα σε όλους!

: ΜΕΓ.ΓΙΝ.ΓΡ..png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και ακολουθώντας την πρώτη μου ανάρτηση (#3), βρίσκω:

$\displaystyle P(d + r - \sqrt {{r^2} - {t^2}} ,t),Q(d + r + \sqrt {{r^2} - {t^2}} ,t)$ και $\displaystyle SP \cdot PQ = 2\left( {{t^2} - {r^2} + (d + r)\sqrt {{r^2} - {t^2}} } \right)$

Θέτω $\displaystyle \sqrt {{r^2} - {t^2}} = y$ κι επειδή $0\le t\le 2$ θα είναι και $0\le y\le 2.$ Έτσι έχουμε: $\displaystyle SP \cdot PQ = 2\left( { - {y^2} + (d + r)y} \right)$

$\displaystyle \bullet$ Αν $\displaystyle 0 \le y < r \Leftrightarrow$ $\boxed{0\le d<r}$ το γινόμενο παρουσιάζει μέγιστο $\boxed{{(SP \cdot PQ)_{\max }} = \frac{{{{(d + r)}^2}}}{2}}$

για $\displaystyle y = \frac{{d + r}}{2} \Leftrightarrow t = \frac{{\sqrt {(r - d)(3r + d)} }}{2}$

$\displaystyle \bullet$ Αν $\boxed{d\ge r}$ τότε έχουμε για $\boxed{t=0}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{{(SP \cdot PQ)_{\max }} = 2dr}$

#11

Καλησπέρα σε όλους.

Ευχαριστώντας τον Νίκο και τον Γιώργο για την ενασχόληση, θέλω να αναφέρω λίγα λόγια για την ιστορία του θέματος.

Είχαμε ξαναασχοληθεί την άνοιξη του 2018, ΕΔΩ. Είχε ακολουθήσει ένας ενδιαφέρον διάλογος σχετικά με το "βασικό θεώρημα", όπως το ονόμαζαν οι γάλλοι αλγεβριστές του 18ου αιώνα: "Δύο θετικές μεταβλητές με σταθερό άθροισμα, έχουν μέγιστο γινόμενο όταν γίνουν ίσες, (αν μπορεί να γίνουν ίσες)" .

Εδώ, λοιπόν (στο αλλαγμένο παράδειγμα) παρατηρούμε ότι αν και είναι SP + PM = d

, σταθερό, ΔΕΝ μπορεί να γίνει το

ίσο με το

, (μισό του

), άρα ΔΕΝ εφαρμόζεται το "βασικό θεώρημα". Άρα δεν μπορεί να θεωρηθεί γενική μέθοδος για τυχαία

και

.

Το θέμα αυτό υπάρχει στις Άλγεβρες του Α. Πάλλα (1948) και του Σπ. Κανέλου (1958).
Η παλαιότερη πηγή που εντοπίσαμε, στην έρευνα που κάναμε σχετικά με το θέμα με τον Γιάννη Θωμαΐδη, είναι στην Άλγεβρα του C. Bourlet (Lecons d’ Algèbre élémentaire, Armand Colin & Cie, Paris, 1896), που ανήκει στη μαθηματική σειρά Cours complet de mathématiques élémentaires, σε επιμέλεια του M. Darboux.

Ο Βourlet χρησιμοποιεί αυτό θέμα ως γεωμετρικό αντιπαράδειγμα, στο οποίο μεταβλητές, που έχουν σταθερό άθροισμα, αν και δεν μπορεί να γίνουν ίσες, το γινομένο τους εμφανίζει μέγιστο για κάποιες τιμές τους.

Μέγιστο γινόμενο

Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση