Μέγιστο γινόμενο

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12313
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 21, 2016 7:45 am

Μέγιστο γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (4.19 KiB) Προβλήθηκε 2225 φορές
Το σημείο S κινείται στον ημιάξονα Oy και η SPQ είναι παράλληλη

προς τον x'x . Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου SP\cdot PQ

Διαφορικός Λογισμός επιτρεπτός ! ( Στόχος η λύση χωρίς παραγώγους )


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Μέγιστο γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τρί Ιουν 21, 2016 9:14 am

Μέγιστο γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (7.32 KiB) Προβλήθηκε 2197 φορές
Αν M μέσον του PQ τότε SP\cdot PQ=2SP\cdot PM και επειδή SP+PM=3 (=st) το SP\cdot PM γίνεται μέγιστο αν SP=PM=1.5 άρα (SP\cdot PQ)_{max}=1.5\cdot3=4.5


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10169
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 21, 2016 9:32 am

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Μέγιστο γινόμενο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το σημείο S κινείται στον ημιάξονα Oy και η SPQ είναι παράλληλη

προς τον x'x . Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου SP\cdot PQ

Διαφορικός Λογισμός επιτρεπτός ! ( Στόχος η λύση χωρίς παραγώγους )
Καλημέρα Θανάση!

Μέγιστο γινόμενο...png
Μέγιστο γινόμενο...png (7.44 KiB) Προβλήθηκε 2183 φορές
Έστω S(0,t), 0<t<2. H ευθεία y=t τέμνει το ημικύκλιο στα σημεία \displaystyle{P\left( {3 - \sqrt {4 - {t^2}} ,t} \right),Q\left( {3 + \sqrt {4 - {t^2}} ,t} \right)}.

\displaystyle{SP \cdot PQ = 2\left( {{t^2} - 4 + 3\sqrt {4 - {t^2}} } \right)}. Θέτω \boxed{\sqrt{4-t^2}=y} και έχω:

\displaystyle{SP \cdot PQ =  - 2({y^2} - 3y) =  - 2{\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{9}{2} \le \frac{9}{2}}

Άρα \boxed{{(SP \cdot PQ)_{\max }} = \frac{9}{2}}, για \displaystyle{y = \frac{3}{2} \Leftrightarrow t = \frac{{\sqrt 7 }}{2} \Leftrightarrow } \boxed{S\left( {0,\frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)}

Γεια σου Ευθύμη! Τώρα σε είδα.


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Μέγιστο γινόμενο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τρί Ιουν 21, 2016 9:37 am

george visvikis έγραψε:
KARKAR έγραψε:
Μέγιστο γινόμενο.png
Το σημείο S κινείται στον ημιάξονα Oy και η SPQ είναι παράλληλη

προς τον x'x . Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου SP\cdot PQ

Διαφορικός Λογισμός επιτρεπτός ! ( Στόχος η λύση χωρίς παραγώγους )
Καλημέρα Θανάση!

Γεια σου Ευθύμη! Τώρα σε είδα.
Γεια σου Γιώργο! (Είπα και 'γω..., τι άλλαξε και δεν χαιρετάει ο Γιώργος;)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7788
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο γινόμενο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 21, 2016 5:35 pm

ealexiou έγραψε:
Μέγιστο γινόμενο.png
Αν M μέσον του PQ τότε SP\cdot PQ=2SP\cdot PM και επειδή SP+PM=3 (=st) το SP\cdot PM γίνεται μέγιστο αν SP=PM=1.5 άρα (SP\cdot PQ)_{max}=1.5\cdot3=4.5
Χαιρετώ όλους.

Λύση με Ευκλείδεια Γεωμετρία και με το κλασσικό τρόπο (του σταθερού αθροίσματος δύο μεταβλητών), υποχρεούμαι να την :clap2:

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4813
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Φεβ 19, 2021 2:21 pm

Συνέχεια από φάκελο Α΄ Λυκείου, σε πιο κατάλληλο φάκελο. Με τη συναίνεση του Θανάση μετέφερα εδώ το θέμα, αντί του φακέλου των διασκεδαστικών μαθηματικών.

Δείτε το σχετικό θέμα ΕΔΩ.

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Τρί Φεβ 09, 2021 7:48 pm

Σάς θυμίζει κάτι το όμορφο αυτό θέμα;
Δεν βλέπω να απαντάτε, άρα το ξεχάσατε! Πολύ ευχάριστο αυτό. Ευκαιρία να διασκεδάσουμε ξανά!

Το τμήμα SPT είναι παράλληλο προς την διάμετρο AB=d του ημικυκλίου.
Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου : SP \cdot PT

17-02-2021 Γεωμετρία.png
17-02-2021 Γεωμετρία.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4813
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Φεβ 19, 2021 2:25 pm

Προτείνω για ξεκίνημα μια παραλλαγή του θέματος του Θανάση:
KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 21, 2016 7:45 am
Το σημείο S κινείται στον ημιάξονα Oy και η SPQ είναι παράλληλη προς τον x'x. Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου SP\cdot PQ
22-02-2021 Γεωμετρία.png
22-02-2021 Γεωμετρία.png (5.89 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές


Μετά ας γενικεύσουμε και ας το συζητήσουμε (διερευνήσουμε).

edit (22-2): Άλλαξα λιγάκι το σχήμα για να γίνει πιο ενδιαφέρον.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Φεβ 22, 2021 9:52 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4813
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Φεβ 21, 2021 11:04 pm

Καλησπέρα σε όλους!

Ίσως δεν έγινε κατανοητή η αλλαγή στο σχήμα του Θανάση. Μετακίνησα το ημικύκλιο δύο μονάδες δεξιά.

Αν έγινε κατανοητή, τότε, φοβάμαι, ότι δεν θέλετε να διασκεδάσετε :(

Παρακάτω το "χαλάω" λίγο για να προκαλέσω το ενδιαφέρον. Ανοίξτε το κουτάκι ΜΟΝΟΝ αν δεν έχετε διάθεση για διασκέδαση.
Θέλει κάποιος να δοκιμάσει τη μέθοδο του Ευθύμη;


Αν δεν δοθεί κάποια συνέχεια, σε εύλογο χρονικό διάστημα λίγων ημερών, θα δώσω απάντηση και τη γενίκευση, για να μην μείνει ξέμπαρκο...


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Δευ Φεβ 22, 2021 10:44 am

Η κακοκαιρία είχε και το τίμημά της!
Αυτό που ήταν διασκεδαστικό ... μια καθαρή διατύπωση της λύσης.
Ελπίζω η παρακάτω να ικανοποιεί τα κριτήρια του Γιώργου.

Ας είναι C το μέσο του PQ και D το μέσο του SC.

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
 (SP \cdot PQ)_{max} &= (SP \cdot {PQ\over 2})_{max}  = (SP \cdot PC)_{max}  = \cr 
& = (DC^2 - DP^2)_{max} =  (ct^2 - DP^2)_{max} = DP_{min} 
\end{aligned} 
}

  • Για {OK \over 2} < R : τότε το P ορίζεται σαν το σημείο τομής του κύκλου και της μεσοκαθέτου του τμήματος OK.
  • Για {OK \over 2} \geq R : τότε το DP_{min} επιτυγχάνεται όταν το P ταυτίζεται με το A και τότε (SP \cdot PQ)_{max} = OA \cdot OB
Συνημμένα
rsz_maxprod.png
rsz_maxprod.png (33.69 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10169
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο γινόμενο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 22, 2021 11:54 am

Καλημέρα σε όλους!

ΜΕΓ.ΓΙΝ.ΓΡ..png
ΜΕΓ.ΓΙΝ.ΓΡ..png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές
Με τους συμβολισμούς του σχήματος και ακολουθώντας την πρώτη μου ανάρτηση (#3), βρίσκω:

\displaystyle P(d + r - \sqrt {{r^2} - {t^2}} ,t),Q(d + r + \sqrt {{r^2} - {t^2}} ,t) και \displaystyle SP \cdot PQ = 2\left( {{t^2} - {r^2} + (d + r)\sqrt {{r^2} - {t^2}} } \right)

Θέτω \displaystyle \sqrt {{r^2} - {t^2}}  = y κι επειδή 0\le t\le 2 θα είναι και 0\le y\le 2. Έτσι έχουμε: \displaystyle SP \cdot PQ = 2\left( { - {y^2} + (d + r)y} \right)

\displaystyle  \bullet Αν \displaystyle 0 \le y < r \Leftrightarrow \boxed{0\le d<r} το γινόμενο παρουσιάζει μέγιστο \boxed{{(SP \cdot PQ)_{\max }} = \frac{{{{(d + r)}^2}}}{2}}

για \displaystyle y = \frac{{d + r}}{2} \Leftrightarrow t = \frac{{\sqrt {(r - d)(3r + d)} }}{2}

\displaystyle  \bullet Αν \boxed{d\ge r} τότε έχουμε για \boxed{t=0} μέγιστο ίσο με \boxed{{(SP \cdot PQ)_{\max }} = 2dr}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4813
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Φεβ 23, 2021 8:58 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Ευχαριστώντας τον Νίκο και τον Γιώργο για την ενασχόληση, θέλω να αναφέρω λίγα λόγια για την ιστορία του θέματος.

Είχαμε ξαναασχοληθεί την άνοιξη του 2018, ΕΔΩ. Είχε ακολουθήσει ένας ενδιαφέρον διάλογος σχετικά με το "βασικό θεώρημα", όπως το ονόμαζαν οι γάλλοι αλγεβριστές του 18ου αιώνα: "Δύο θετικές μεταβλητές με σταθερό άθροισμα, έχουν μέγιστο γινόμενο όταν γίνουν ίσες, (αν μπορεί να γίνουν ίσες)" .

Εδώ, λοιπόν (στο αλλαγμένο παράδειγμα) παρατηρούμε ότι αν και είναι SP + PM = d, σταθερό, ΔΕΝ μπορεί να γίνει το SP ίσο με το PM, (μισό του PQ), άρα ΔΕΝ εφαρμόζεται το "βασικό θεώρημα". Άρα δεν μπορεί να θεωρηθεί γενική μέθοδος για τυχαία d και r.

Το θέμα αυτό υπάρχει στις Άλγεβρες του Α. Πάλλα (1948) και του Σπ. Κανέλου (1958).
Η παλαιότερη πηγή που εντοπίσαμε, στην έρευνα που κάναμε σχετικά με το θέμα με τον Γιάννη Θωμαΐδη, είναι στην Άλγεβρα του C. Bourlet (Lecons d’ Algèbre élémentaire, Armand Colin & Cie, Paris, 1896), που ανήκει στη μαθηματική σειρά Cours complet de mathématiques élémentaires, σε επιμέλεια του M. Darboux.

Ο Βourlet χρησιμοποιεί αυτό θέμα ως γεωμετρικό αντιπαράδειγμα, στο οποίο μεταβλητές, που έχουν σταθερό άθροισμα, αν και δεν μπορεί να γίνουν ίσες, το γινομένο τους εμφανίζει μέγιστο για κάποιες τιμές τους.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες