mathematica.gr

Δίνεται η έλλειψη (c) : .
A]Να αποδείξετε οτι η εξίσωση της εφαπτομένης της δοθείσας έλλειψης στο σημείο Ρ(ασυνφ,βημφ) είναι βχσυνφ+αyημφ = αβ.
Β]Αν η παραπάνω εφαπτομένη τέμνει τους άξονες χχ' και yy' στα σημεία Κ,Λ αντίστοιχα τότε
i. Nα βρείτε το ελάχιστο εμβαδό του τριγώνου ΟΚΛ
ii. Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης πάνω στην οποία κινείται το βαρύκεντρο του τριγώνου ΟΚΛ.

Α) Το σημείο Ρ ανήκει στην έλλειψη άρα από το γνωστό τύπο της εφαπτομένης έλλειψης στο σημείο της παίρνουμε τη ζητούμενη ευθεία.

B) Τα σημεία Κ, Λ που τέμνει η εφαπτομένη τους άξονες και είναι τα και αντίστοιχα, οπότε το εμβαδό Ε του τριγώνου ΟΚΛ είναι ίσο με

οπότε το ελάχιστο εμβαδό επιτυγχάνεται όταν μεγιστοποιείται το δηλαδή όταν γίνεται ίσο με . Άρα η ελάχιστη τιμή του εμβαδού είναι .

Γ) Αν είναι το μέσο του ΟΛ, τότε το βαρύκεντρο είναι το μοναδικό σημείο για το οποίο ισχύει

Έτσι βρίσκουμε το οποίο ανήκει στην καμπύλη



Edit: Έγιναν δύο διορθώσεις σε αριθμητικά αρνητικά αποτελέσματα. Ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη που τα παρατήρησε και μου τα επισήμανε.

Βλέπω ότι απαντήθηκε, οπότε μου έμεινε το σχήμα. Το αφήνω για τον κόπο
Οι κλάδοι της κόκκινης καμπύλης είναι ο γεωμετρικό; τόπος.