Τετραπλή ισότητα

KARKAR · #1

: Τετραπλή ισότητα.png (15.37 KiB) Προβλήθηκε 2114 φορές

Α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου με κορυφές A(0,0) ,B(7,0) , C(6,3) , D(1,5)

.

Β) Βρείτε τις συντεταγμένες εσωτερικού σημείου

, το οποίο αν συνδέσουμε με τα μέσα K,L,M,N

των πλευρών του τετραπλεύρου , τα τέσσερα δημιουργούμενα τετράπλευρα , να είναι ισεμβαδικά .

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Τετραπλή ισότητα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου με κορυφές .

Β) Βρείτε τις συντεταγμένες εσωτερικού σημείου , το οποίο αν συνδέσουμε με τα μέσα

των πλευρών του τετραπλεύρου , τα τέσσερα δημιουργούμενα τετράπλευρα , να είναι ισεμβαδικά .

Καλησπέρα Θανάση .

Μου άρεσε η άσκηση. Το σημείο κατασκευάζεται Γεωμετρικά,μετά δε προσδιορίζονται εύκολα και οι συντεταγμένες του . Αν δεν απαντηθεί ( αυτή η γεωμετρική λύση ), θα επανέλθω.

: Τετραπλή ισότητα_τελικό.png (34.14 KiB) Προβλήθηκε 2083 φορές

Φιλικά Νίκος

#3

Το πρώτο ερώτημα θα μπορούσε άνετα να κατεβεί τρεις τάξεις. Το τετράπλευρο διαμελίζεται σε δυο ορθογώνια τρίγωνα με εμβαδόν $\displaystyle{\frac{5}{2},~\frac{3}{2}}$ το καθένα, και σε ένα τραπέζιο εμβαδού $\displaystyle{\frac{8\cdot 5}{2}=20.}$ Άρα $\displaystyle{(ABCD)=24.}$

: area2.png (14.03 KiB) Προβλήθηκε 2081 φορές

Επίσης, ίσως είναι και μια καλή αφορμή να γίνει μια (μικρή) αναφορά στον κανόνα του Pick, σύμφωνα με τον οποίο

$\displaystyle{(ABCD)=\frac{\Pi}{2}+E-1}$ ,

όπου $\displaystyle{\Pi}$ το πλήθος των σημείων με ακέραιες συντεταγμένες (lattice points), τα οποία βρίσκονται στο σύνορο του πολυγώνου, ενώ $\displaystyle{E}$ το πλήθος των σημείων με ακέραιες συντεταγμένες που βρίσκονται στο εσωτερικό του πολυγώνου.

Εν προκειμένω, είναι $\displaystyle{\Pi =10, E=20,}$ άρα $\displaystyle{(ABCD)=5+10-1=24.}$

: area3.png (14.81 KiB) Προβλήθηκε 2081 φορές

#4

: Τετραπλή ισότητα_Eukl_2.png (23.87 KiB) Προβλήθηκε 2018 φορές

Για κάθε τετράπλευρο ABCD

( κυρτό ή μη κυρτό) με K,L,M,N

μέσα των πλευρών του AB,BC,CD,DA

αντίστοιχα , το τετράπλευρο KLMN

είναι παραλληλόγραμμο.

Εύκολα ακόμα μπορούμε να δείξουμε ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων $AKN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,CML$ καθώς και των τριγώνων $DMN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BLK$ είναι το $\dfrac{1}{4}$ του ολικού εμβαδού του τετραπλεύρου ABCD

. ( π.χ.

)

Αν λοιπόν από τα K,N

φέρουμε παράλληλες προς τις BC,DC

αντίστοιχα και τμηθούν στο ${S_1}$ , τα τρίγωνα ${S_1}NK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CML$ είναι ίσα και άρα ισεμβαδικά .

Άμεση συνέπεια : $\boxed{(AK{S_1}N) = (CM{S_1}L) = \frac{1}{4}(ABCD)}\,\,\,(1)$ .

Με παρόμοιο τρόπο ορίζουμε και το ${S_2}$ για το οποίο $\boxed{(BK{S_1}L) = (DM{S_2}N) = \frac{1}{4}(ABCD)}\,\,\,(2)$ .

Τέλος οι παράλληλες από τα ${S_1}\,\,,\,\,{S_2}$ προς τις KN,KL

αντίστοιχα τέμνονται στο ζητούμενο σημείο

.

Φιλικά Νίκος

KARKAR · #5

: Παλιά τετραπλή.png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 1679 φορές

Ακολουθώντας τον δρόμο που χάραξε ο Νίκος θα βρούμε ( με πολλές και ανιαρές πράξεις )

τα σημεία : $S1( 3 , \dfrac{3}{2} ) , S2( 4 , \dfrac{5}{2} )$ και εν τέλει το ζητούμενο : $S ( \dfrac{21}{8} , \dfrac{29}{16} )$ .

#6

Αξίζει να αξιοποιήσουμε το σχήμα του Θάνου στο ποστ #3 για βα επιβεβαιώσουμε με Θεώρημα Pick την λύση. Το μυστικό είναι ότι το

είναι στην τομή δύο ευθειών που ορίζονται από κόμβους, τις

και

όπου οι απαραίτητοι κόμβοι είναι τα σημεία P(2,2)

και

(κόκκινοι στο σχήμα).

Τώρα μετρά κανείς τους κόμβους στα τέσσερα τετράπλευρα, εντός και στην περίμετρό τους, και επιβεβαιώνει ότι τα επιμέρους εμβαδά είναι όλα ίσα με

.

#7

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09#p351691

Τετραπλή ισότητα

Τετραπλή ισότητα

Re: Τετραπλή ισότητα

Re: Τετραπλή ισότητα

Re: Τετραπλή ισότητα

Re: Τετραπλή ισότητα

Re: Τετραπλή ισότητα

Re: Τετραπλή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση