Θεώρημα Stewart

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2330
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Θεώρημα Stewart

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Παρ Οκτ 23, 2009 8:42 pm

Μια και είμαστε στα διανύσματα μια γνωστή άσκηση της γεωμετρίας με διανυσματική αντιμετώπιση.


Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο της ευθείας ΒΓ, να δείξετε ότι ισχύει:
\mathop {BA}\limits^ \to  ^2  \cdot \mathop {P\Gamma }\limits^ \to   + \mathop {\Gamma A}\limits^ \to  ^2  \cdot \mathop {BP}\limits^ \to   + \mathop {AP}\limits^ \to  ^2  \cdot \mathop {\Gamma B}\limits^ \to   = (\mathop {BP}\limits^ \to   \cdot \mathop {P\Gamma }\limits^ \to  ) \cdot \mathop {B\Gamma }\limits^ \to


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2839
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θεώρημα Stewart

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Παρ Οκτ 23, 2009 10:56 pm

Έστω \vec{\Gamma P}=m\vec{B\Gamma }, οπότε \vec{BP}=(m+1)\vec{B\Gamma }.
Τότε:
\vec{BA}^{2}\vec{P\Gamma}+\vec{\Gamma A}^{2}\vec{BP}+\vec{AP}^{2}\vec{\Gamma B}=

=-\vec{BA}^{2}m\vec{B\Gamma}+\vec{\Gamma A}^{2}(m+1)\vec{B\Gamma }-\vec{AP}^{2}\vec{B\Gamma }=

=(-m\vec{BA}^{2}+m\vec{\Gamma A}^{2}+\vec{\Gamma A}^{2}-\vec{AP}^{2})\vec{B\Gamma}=

=[-m(\vec{\Gamma A}+\vec{BA})\cdot(\vec{\Gamma A}-\vec{BA})+(\vec{\Gamma A}-\vec{AP})\cdot(\vec{\Gamma A}+\vec{AP})]\vec{B\Gamma}=

=[-m\vec{\Gamma B}\cdot(\vec{\Gamma A}+\vec{BA})+(\vec{\Gamma A}-\vec{AP})\cdot\vec{\Gamma P}]\vec{B\Gamma}=

=[-\vec{\Gamma P}\cdot(\vec{\Gamma A}+\vec{BA})+(\vec{\Gamma A}-\vec{AP})\cdot\vec{\Gamma P}]\vec{B\Gamma}=

=[\vec{\Gamma P}\cdot(-\vec{\Gamma A}-\vec{BA}+\vec{\Gamma A}-\vec{AP})]\vec{B\Gamma}=

=[\vec{\Gamma P}\cdot(-\vec{BA}-\vec{AP})]\vec{B\Gamma}=

=(\vec{\Gamma P}\cdot\vec{PB})\vec{B\Gamma}=

=(\vec{P\Gamma}\cdot\vec{BP})\vec{B\Gamma}=

=(\vec{BP}\cdot\vec{P\Gamma})\vec{B\Gamma}


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2330
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Θεώρημα Stewart

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Οκτ 25, 2009 11:24 am

Στην δεκαετία του 1630 ο Καρτέσιος και ο Fermat ανακαλύπτουν την αναλυτική γεωμετρία που έδωσε νέες διαστάσεις στην απόδειξη των γεωμετριών θεμάτων. Αναλυτική γεωμετρία σημαίνει ότι οι καμπύλες μπορούσαν να αναπαρασταθούν με εξισώσεις αλλά και το αντίστροφο, κάθε εξίσωση προσδιόριζε μια καμπύλη.

379 χρόνια αργότερα στην λέσχη μας μπορούμε να θεωρήσουμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με αρχή το σημείο Β και \mathop i\limits^ \to  //\mathop {B\Gamma }\limits^ \to, οπότε για το τυχαίο σημείο P(x, 0) όπου x πραγματικός αριθμός έχουμε:

\mathop {BA}\limits^ \to   = (\alpha ,\beta ) άρα \mathop {BA}\limits^ \to   = \alpha ^2  + \beta ^2
\mathop {\Gamma A}\limits^ \to   = (\alpha  - \gamma ,\beta ) άρα \mathop {\Gamma A}\limits^ \to   = (\alpha  - \gamma )^2  + \beta ^2  = \alpha ^2  + \beta ^2  + \gamma ^2  - 2\alpha \gamma
\mathop {AP}\limits^ \to   = (x - \alpha , - \beta ) άρα \mathop {AP}\limits^ \to   = (x - \alpha )^2  + ( - \beta )^2  = x^2  + \alpha ^2  + \beta ^2  - 2\alpha x

Ακόμα
\mathop {P\Gamma }\limits^ \to   = (\gamma  - x,0)
\mathop {BP}\limits^ \to   = (x,0)
\mathop {\Gamma B}\limits^ \to   = ( - \gamma ,0)

Οπότε
\mathop {BA}\limits^ \to  ^2  \cdot \mathop {P\Gamma }\limits^ \to   + \mathop {\Gamma {\rm A}}\limits^ \to  ^2  \cdot \mathop {BP}\limits^ \to   + \mathop {AP}\limits^ \to  ^2  \cdot \mathop {\Gamma {\rm B}}\limits^ \to   =
\left( {(\alpha ^2  + \beta ^2 )(\gamma  - x) + (\alpha ^2  + \beta ^2  + \gamma ^2  - 2\alpha \gamma )x + (x^2  + \alpha ^2  + \beta ^2  - 2\alpha x)( - \gamma ),0} \right) =
(\gamma ^2 x - \gamma x^2 ,0) = x(\gamma  - x) \cdot (\gamma ,0) = (\mathop {BP}\limits^ \to   \cdot \mathop {P\Gamma }\limits^ \to  ) \cdot \mathop {B\Gamma }\limits^ \to
Συνημμένα
st.PNG
st.PNG (11.6 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές


Καρδαμίτσης Σπύρος
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5450
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Θεώρημα Stewart

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Οκτ 25, 2009 7:31 pm

lepro έγραψε:Έστω \vec{\Gamma P}=m\vec{B\Gamma }, οπότε \vec{BP}=(m+1)\vec{B\Gamma }.
Τότε:
\vec{BA}^{2}\vec{P\Gamma}+\vec{\Gamma A}^{2}\vec{BP}+\vec{AP}^{2}\vec{\Gamma B}=

=-\vec{BA}^{2}m\vec{B\Gamma}+\vec{\Gamma A}^{2}(m+1)\vec{B\Gamma }-\vec{AP}^{2}\vec{B\Gamma }=

=(-m\vec{BA}^{2}+m\vec{\Gamma A}^{2}+\vec{\Gamma A}^{2}-\vec{AP}^{2})\vec{B\Gamma}=

=[-m(\vec{\Gamma A}+\vec{BA})\cdot(\vec{\Gamma A}-\vec{BA})+(\vec{\Gamma A}-\vec{AP})\cdot(\vec{\Gamma A}+\vec{AP})]\vec{B\Gamma}=

=[-m\vec{\Gamma B}\cdot(\vec{\Gamma A}+\vec{BA})+(\vec{\Gamma A}-\vec{AP})\cdot\vec{\Gamma P}]\vec{B\Gamma}=

=[-\vec{\Gamma P}\cdot(\vec{\Gamma A}+\vec{BA})+(\vec{\Gamma A}-\vec{AP})\cdot\vec{\Gamma P}]\vec{B\Gamma}=

=[\vec{\Gamma P}\cdot(-\vec{\Gamma A}-\vec{BA}+\vec{\Gamma A}-\vec{AP})]\vec{B\Gamma}=

=[\vec{\Gamma P}\cdot(-\vec{BA}-\vec{AP})]\vec{B\Gamma}=

=(\vec{\Gamma P}\cdot\vec{PB})\vec{B\Gamma}=

=(\vec{P\Gamma}\cdot\vec{BP})\vec{B\Gamma}=

=(\vec{BP}\cdot\vec{P\Gamma})\vec{B\Gamma}
Καλωσορίζω στη λέσχη τον εκλεκτό συνάδελφο Λευτέρη , πολυγραφότατο συγγραφέα και αθόρυβο εργάτη της παιδείας μας. Με συνοδοιπόρο και αυτόν , το ταξίδι του mathematica στο χώρο των μαθηματικών ασκήσεων και προβληματισμών θα είναι πιο ευχάριστο και παραγωγικό !

Λευτέρη, καλή δύναμη και πάντα καλές εμπνεύσεις.Εδώ είμαι σίγουρος ότι θα αποκτήσεις μόνο φίλους ! Στην επόμενη συνάντηση θέλω να είσαι μαζί μας. Η πρόταση -πρόσκληση έγινε ήδη !

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2839
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θεώρημα Stewart

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Οκτ 25, 2009 9:06 pm

Καλώς σας βρήκα!!!

Ευχαριστώ πολύ για τα καλά λόγια.

Πράγματι, η ελπίδα και η επιθυμία μου είναι αφενός μεν να αποκτήσω νέους φίλους, αφετέρου δε να γίνω καλύτερος επιστήμονας .

Όσον αφορά την πρόσκλησή σας, γίνεται αυτομάτως αποδεκτή.

Φιλικά,

Λευτέρης


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης