mathematica.gr • Διαπλεκόμενο τρίγωνο

Σελίδα 1 από 1

Διαπλεκόμενο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 23, 2025 11:24 am

από george visvikis

: Διαπλεκόμενο τρίγωνο.png (17.91 KiB) Προβλήθηκε 980 φορές

Σε τρίγωνο ABC

ABC

με ύψος

AD=h_a

ισχύει

b+c=a+h_a.

Αν

είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου

και r, r_a

r, r_a

οι ακτίνες του εγγεγραμμένου και του

παρεγγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα, να δείξετε ότι:

r_a=a .......

ar=(s-b)(s-c).......

$\displaystyle \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = 1$

Ο εγγεγραμμένος κύκλος (I,r)

(I,r)

και ο κύκλος διαμέτρου

εφάπτονται εσωτερικά.

Re: Διαπλεκόμενο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Τρί Μαρ 25, 2025 5:15 pm

από rek2

Για το 4:

Έστω

το μέσο της

. Αρκεί να δείξουμε ότι

a/2 -r = IM

a/2 -r = IM

ή

(a/2- r)^2= IM^2

(*)

Έστω

το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου και της BC.

BC.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο IEM

IEM

είναι

IM^2=IE^2+EM^2

ή

IM^2 = r^2+[a/2-(s-b)]^2

Η τελευταία ισότητα με τη βοήθεια της 2) δίνει την (*).

Re: Διαπλεκόμενο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 28, 2025 10:19 am

από george visvikis

Εκκρεμούν τα ερωτήματα ειδικά το πάνω στο οποίο βασίζεται η απόδειξή του Κώστα.

Re: Διαπλεκόμενο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 28, 2025 4:42 pm

από rek2

Από την υπόθεση είναι h_a=2(s-a)

h_a=2(s-a)

και άμεσα

E=a(s-a)

1. E=r_a(s-a)=a(s-a).

Άρα

r_a=a

2. E^2=a^2(s-a)^2=s(s-a)(s-b)(s-c)

οπότε

(s-b)(s-c)=a^2(s-a)/s=aE/s=ar

Από τα ορθογώνια τρίγωνα IEB,IEC

IEB,IEC

είναι

tan(B/2)+tan(C/2) = r/(s-b)+r/(s-c)=r(2s-c-b)/((s-b)(s-c))=ra/((s-b)(s-c))=1