Παρά - λογος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15542
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παρά - λογος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Οκτ 26, 2024 12:02 pm

Παράλογος.png
Παράλογος.png (7.69 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
\bigstar Φέραμε το προς την υποτείνουσα BC ύψος AD του ορθογωνίου τριγώνου

ABC και παρατηρήσαμε ότι : CD=AB . Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : \dfrac{a}{b}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3612
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Παρά - λογος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Οκτ 27, 2024 11:01 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Οκτ 26, 2024 12:02 pm
\bigstar Φέραμε το προς την υποτείνουσα BC ύψος AD του ορθογωνίου τριγώνου

ABC και παρατηρήσαμε ότι : CD=AB . Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : \dfrac{a}{b}
shape.png
shape.png (17.88 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2939
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παρά - λογος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Οκτ 27, 2024 9:39 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Οκτ 26, 2024 12:02 pm
Παράλογος.png\bigstar Φέραμε το προς την υποτείνουσα BC ύψος AD του ορθογωνίου τριγώνου

ABC και παρατηρήσαμε ότι : CD=AB . Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : \dfrac{a}{b}
ΜΕ DE\bot AC προφανώς \triangle BAD= \triangle DEC \Rightarrow BD=DE \Rightarrow BE διχοτόμος της γωνίας B

 \dfrac{a}{c}= \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{c}{a-c} \Rightarrow  (\dfrac{a}{c} )^2- \dfrac{a} {c}-1=0  \Rightarrow   \dfrac{a}{c}= \Phi  \Rightarrow a^2=c^2 \Phi ^2

a^2=b^2+c^2 \Rightarrow b^2=a^2-c^2=a^2- \dfrac{a^2}{ \Phi ^2}=a^2 \dfrac{1- \Phi ^2}{ \Phi ^2}= \dfrac{a^2}{ \Phi } \Rightarrow  \dfrac{a}{b} = \sqrt{ \Phi }
Παρά-λογος.png
Παρά-λογος.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13618
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παρά - λογος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 28, 2024 8:20 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Οκτ 26, 2024 12:02 pm
Παράλογος.png\bigstar Φέραμε το προς την υποτείνουσα BC ύψος AD του ορθογωνίου τριγώνου

ABC και παρατηρήσαμε ότι : CD=AB . Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : \dfrac{a}{b}
Παρόμοιο.
Παρά-λογος.Κ.png
Παρά-λογος.Κ.png (8.77 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές
\displaystyle (a - c)c = A{D^2} = {c^2} - {(a - c)^2} \Leftrightarrow {a^2} - ac - {c^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \Phi

\displaystyle \frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = {\Phi ^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{\Phi ^2}}}{{{\Phi ^2} - 1}} = \Phi  \Leftrightarrow \boxed{\frac{a}{b} = \sqrt \Phi  }


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10197
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παρά - λογος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 29, 2024 12:47 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Οκτ 26, 2024 12:02 pm
Παράλογος.png\bigstar Φέραμε το προς την υποτείνουσα BC ύψος AD του ορθογωνίου τριγώνου

ABC και παρατηρήσαμε ότι : CD=AB . Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : \dfrac{a}{b}
Από Θ, Ευκλείδη στο \vartriangle ABC έχω : A{B^2} = BD \cdot BC \Rightarrow {x^2} = \left( {a - x} \right)a .

Δηλαδή το D χωρίζει σε μέσο κι άκρο λόγο την υποτείνουσα BC = a κι αυτό γιατί :

Το τετράγωνο του μεγάλου τμήματος ισούται με το υπόλοιπο επί το αρχικό. Έχω λοιπόν : \boxed{\varphi  = \frac{a}{x} = \frac{x}{{a - x}}\,}\,\,\left( 1 \right)
Παρά_λόγος.png
Παρά_λόγος.png (7.52 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές
Αλλά για τις προβολές των x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b στην υποτείνουσα ισχύει : \boxed{\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} \Rightarrow \frac{{a - x}}{x} = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} = \frac{1}{\varphi }}\,\,\left( 2 \right)

Μεταξύ των \left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 1 \right) διώχνω το x κι έχω : \boxed{\frac{a}{b} = \sqrt \varphi  }

Εκτέλεση πράξεων :

Από την \left( 1 \right) έχω , x = \dfrac{a}{\varphi } το θέτω στην τελευταία ισότητα στην \left( 2 \right) και προκύπτει : \boxed{\dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{{{\varphi ^2}}}}}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{\varphi } \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}{\varphi ^2}}} = \dfrac{1}{\varphi } \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \varphi }


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2533
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Παρά - λογος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Οκτ 30, 2024 6:58 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Οκτ 26, 2024 12:02 pm
Παράλογος.png\bigstar Φέραμε το προς την υποτείνουσα BC ύψος AD του ορθογωνίου τριγώνου

ABC και παρατηρήσαμε ότι : CD=AB . Αναζητούμε λοιπόν τον λόγο : \dfrac{a}{b}
Το τετράπλευρο BDEA είναι παραλληλόγραμμο και BD=AE=a-c,\Theta D//AB,\Theta D=\dfrac{c^{2}}{a}=a-c, 
 
, E\Theta =c-\dfrac{c^{2}}{a},


EC^{2}= (2c-a)^{2}+\dfrac{c^{2}b^{2}}{a^{2}}

Από τη συνθήκη καθετότητας των τμημάτων AC,DE, AE^{2}+DC^{2}=AD^{2}+EC^{2}\Rightarrow \dfrac{a^{2}}{b^{2}}=\dfrac{\Phi ^{2}}{\Phi ^{2}-1}, 
 
    \Phi =\dfrac{\Phi ^{2}}{\Phi ^{2}-1} ,\dfrac{a}{b}=\sqrt{\Phi }


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες