mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am**

: 321.png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 1213 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς BC = x.

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 03, 2024 9:32 am**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am
321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Καλημέρα καλημέρα στον φίλο Μιχάλη και την πανέμορφη Σαλαμίνα, ειδικά τώρα το καλοκαιράκι.
Μία άποψη για την άσκηση με βάση τον λόγο των εμβαδών τριγώνων ίδιας γωνίας.

$\displaystyle{\frac{{xCD}}{{CM \cdot CA}} = \frac{1}{3},\;\frac{{xCM}}{{CD \cdot CA}} = \frac{3}{5}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( \cdot \right)} \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 36}} = \frac{1}{5} \Rightarrow x = 3.}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 03, 2024 2:16 pm**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am
321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Κατασκευάζοντας το παραλ/μμο ACBZ

έχουμε $\dfrac{BE}{y}= \dfrac{1}{5} \Rightarrow BE= \dfrac{y}{5}$

Λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών ,η BC=x

εφάπτεται του κύκλου (Z,E,C)

.Επομένως

$x^2=BE.BZ=\dfrac{y^2}{5}= \dfrac{x^2+36}{5} \Rightarrow x=3$

: 3-2-1...png (26.96 KiB) Προβλήθηκε 1142 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 03, 2024 6:08 pm**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am
321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Αν $ME\bot AC,$ τότε από την ομοιότητα των τριγώνων AME, ABC

και

έχω:

: 3-2-1 ΑΝΤ1.png (8.92 KiB) Προβλήθηκε 1094 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{ME}}{x} = \frac{3}{{\sqrt {{x^2} + 36} }} \hfill \\ \frac{{ME}}{1} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{9}{{{x^2} + 36}} = \frac{{{x^2} + 9}}{{{x^4} + {x^2}}} \Leftrightarrow 2{x^4} - 9{x^2} - 81 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=3}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 03, 2024 7:11 pm**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am
321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Θέτω :

και ισχύει , ${b^2} = {x^2} + 36\,\,\,\,\left( 1 \right)$ ( Π. Θ.). Από το Θ. Steiner

και λόγω της $\left( 1 \right)$ , έχω :

: 1_2_3_ANT1_Steiner.png (10.28 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές

$\boxed{\frac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}} = \frac{{DB}}{{DA}} \cdot \frac{{MB}}{{MA}} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 36}} = \frac{1}{5} \Rightarrow x = 3}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 03, 2024 11:49 pm**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am
321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου

και την εφαπτομένη του, στο άκρο

που τέμνει την ευθεία

στο

.

Θέτω , $BE = k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE = a$ . Επειδή , $\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {A_{}^{}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {\phi _{}^{}} = \widehat {{\rm A}_{}^{}} + \widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {\omega _{}^{}} + \widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {ECD}$ , η

θα εφάπτεται και του κύκλου , $\left( {D,M,C} \right)$ .

: 1_2_3_ANT1_new.png (23.29 KiB) Προβλήθηκε 1035 φορές

Έτσι ταυτόχρονα : $\left\{ \begin{gathered} E{C^2} = EB \cdot EA = ED \cdot EM \hfill \\ B{C^2} = BA \cdot BE \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} k\left( {k + 6} \right) = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 3} \right) \hfill \\ {x^2} = 6k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} k = \frac{3}{2} \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 04, 2024 9:01 am**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am
321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Εκτός φακέλου.

Φέρνω $DF\bot CA$ και από τα όμοια τρίγωνα ADF, ABC

είναι $\displaystyle DF = \frac{{5x}}{{CA}}.$

: 3-2-1ΑΝΤ1.png (8.98 KiB) Προβλήθηκε 999 φορές

Η

είναι η

συμμετροδιάμεσος του ABC

άρα $\displaystyle \frac{{DF}}{{DB}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Leftrightarrow 5{x^2} = C{A^2} \Leftrightarrow 5{x^2} = {x^2} + 36 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=3}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 05, 2024 9:09 am**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am
Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Από τα ορθογώνια τρίγωνα ABC, MBC, DBC

, με αυτή την σειρά, έχουμε

$\dfrac {6}{x} =\tan (\omega + \theta + \omega)= \dfrac {\tan (\omega + \theta)+\tan (\omega )}{1-\tan (\omega + \theta)\tan (\omega )}=\dfrac {\dfrac {3}{x}+ \dfrac {1}{x} }{1-\dfrac {3}{x}\cdot \dfrac {1}{x}} =\dfrac {4x}{x^2-3}$ .

Άρα x=3

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 05, 2024 9:27 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 05, 2024 9:09 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am
Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!
Από τα ορθογώνια τρίγωνα , με αυτή την σειρά, έχουμε

$\dfrac {6}{x} =\tan (\omega + \theta + \omega)= \dfrac {\tan (\omega + \theta)+\tan (\omega )}{1-\tan (\omega + \theta)\tan (\omega )}=\dfrac {\dfrac {3}{x}+ \dfrac {1}{x} }{1-\dfrac {3}{x}\cdot \dfrac {1}{x}} =\dfrac {4x}{x^2-3}$ .

Άρα .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 05, 2024 12:52 pm**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am
321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Η κάθετη στην

στο

τέμνει τις CM,CD

στα

αντίστοιχα

$\triangle APC \simeq \triangle DBC \Rightarrow AP= \dfrac{y}{x}$ και $\triangle AQC \simeq \triangle MBC \Rightarrow \dfrac{y}{x}= \dfrac{AQ}{3}$ άρα AQ=3AP

Το τετράπλευρο DMPQ

είναι εγγράψιμμο,άρα $AP.AQ=AM.AD \Rightarrow 3AP^2=15 \Rightarrow AP= \sqrt{5}$

Επομένως $\dfrac{y}{x}= \sqrt{5} \Rightarrow y^2=5x^2$ και με Π.Θ στο $\triangle ABC \Rightarrow x=3$

: 3-2-1...png (31.2 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές

mathematica.gr

3-2-1-ANT1

3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1