Αναζητήση ευθύγραμμου τμήματος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5298
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Αναζητήση ευθύγραμμου τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm

Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου \mathrm{AB}. Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος \mathrm{PQ}.


\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); 
\draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); 
\draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); 
 
%apply styling  
 
\draw (-3, 0) node[below]{A}; 
\draw (3, 0) node[below]{B}; 
\draw (1, 0) node[below]{P}; 
\draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; 
\draw (-1, 0) node[below]{20}; 
\draw (2, 0) node[below]{6}; 
 
%style angle 
 
\draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; 
\draw (0.2, 0.5) node[]{60}; 
 
\end{tikzpicture}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13438
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αναζητήση ευθύγραμμου τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 10, 2024 5:51 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm
Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου \mathrm{AB}. Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος \mathrm{PQ}.


\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); 
\draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); 
\draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); 
 
%apply styling  
 
\draw (-3, 0) node[below]{A}; 
\draw (3, 0) node[below]{B}; 
\draw (1, 0) node[below]{P}; 
\draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; 
\draw (-1, 0) node[below]{20}; 
\draw (2, 0) node[below]{6}; 
 
%style angle 
 
\draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; 
\draw (0.2, 0.5) node[]{60}; 
 
\end{tikzpicture}}
Έστω PQ=x. Νόμος συνημιτόνων στα QAP, QPB.
Αναζήτηση τμήματος.png
Αναζήτηση τμήματος.png (16.53 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  A{Q^2} = {x^2} + 400 - 20x \hfill \\ 
  B{Q^2} = {x^2} + 36 + 6x \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{( + )} 676 = 2{x^2} - 14x + 436 \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 120 = 0 \Leftrightarrow \boxed{x=15}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15865
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αναζητήση ευθύγραμμου τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 10, 2024 6:02 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm
Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου \mathrm{AB}. Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος \mathrm{PQ}.


\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); 
\draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); 
\draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); 
 
%apply styling  
 
\draw (-3, 0) node[below]{A}; 
\draw (3, 0) node[below]{B}; 
\draw (1, 0) node[below]{P}; 
\draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; 
\draw (-1, 0) node[below]{20}; 
\draw (2, 0) node[below]{6}; 
 
%style angle 
 
\draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; 
\draw (0.2, 0.5) node[]{60}; 
 
\end{tikzpicture}}
.
Η ακτίνα του κύκλου είναι AB/2=(20+6)/2=13. Αν λοιπόν K το κέντρο του κύκλου, έχουμε AK=13, KP=20-13=7, \, PB=6. Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στο KPQ έχουμε

13^2=KQ^2 = KP^2+PQ^2-2\cdot KP\cdot PQ \cos 60 = 7^2+PQ^2 -2\cdot 7\cdot PQ \cdot \frac {1}{2} . Άρα

PQ^2-7PQ -120=0. Λύνοντας την δευτεροβάθμια έπεται ότι PQ=15.

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος, αλλά το αφήνω για τον κόπο.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3566
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Αναζητήση ευθύγραμμου τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιούλ 10, 2024 7:57 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm
Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου \mathrm{AB}. Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος \mathrm{PQ}.


\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); 
\draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); 
\draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); 
 
%apply styling  
 
\draw (-3, 0) node[below]{A}; 
\draw (3, 0) node[below]{B}; 
\draw (1, 0) node[below]{P}; 
\draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; 
\draw (-1, 0) node[below]{20}; 
\draw (2, 0) node[below]{6}; 
 
%style angle 
 
\draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; 
\draw (0.2, 0.5) node[]{60}; 
 
\end{tikzpicture}}
Γεια σου Τόλη!
shape.png
shape.png (23.39 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1790
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Αναζητήση ευθύγραμμου τμήματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Ιούλ 10, 2024 8:18 pm

Ένα χαιρετισμό σε όλους: μέλη-φίλους του :logo:

Είχα κάνει σχήμα , αλλά με καλύπτει το σχήμα του Μιχάλη Νάννου ακριβώς από πάνω!

Ο νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο POQ μας δίνει τη (δεκτή) λύση PQ=x=15

Πάντοτε με εκτίμηση. Φιλικά Γιώργος.

Όπως βλέπω (με δεύτερη ματιά) , η λύση έχει καλυφθεί από τον Μιχάλη Λάμπρου..
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Τετ Ιούλ 10, 2024 8:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3566
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Αναζητήση ευθύγραμμου τμήματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιούλ 10, 2024 8:22 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm
Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου \mathrm{AB}. Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος \mathrm{PQ}.
shape2.png
shape2.png (44 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10012
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αναζητήση ευθύγραμμου τμήματος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 11, 2024 12:33 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm
Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου \mathrm{AB}. Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος \mathrm{PQ}.


\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); 
\draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); 
\draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); 
 
%apply styling  
 
\draw (-3, 0) node[below]{A}; 
\draw (3, 0) node[below]{B}; 
\draw (1, 0) node[below]{P}; 
\draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; 
\draw (-1, 0) node[below]{20}; 
\draw (2, 0) node[below]{6}; 
 
%style angle 
 
\draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; 
\draw (0.2, 0.5) node[]{60}; 
 
\end{tikzpicture}}
Προεκτείνω την QP και τέμνει το κάτω ημικύκλιο στο C.

Θέτω : PQ = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC = y. Από τα όμοια τρίγωνα APQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CPB ή από δύναμη σημείου , xy = 120\,\,\,\left( 1 \right).
Αναζήτηση τμήματος.png
Αναζήτηση τμήματος.png (32.23 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
Από το Θ απέναντι αμβλείας ή Θ συνημίτονου στο , POC έχω : {y^2} + 7y - 120 = 0 με μια δεκτή θετική ρίζα : y = 8\,\,\,\left( 2 \right) .

Έτσι η \left( 1 \right)\,\, δίδει : \boxed{x = 15}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2837
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Αναζητήση ευθύγραμμου τμήματος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Ιούλ 11, 2024 7:36 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm
Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου \mathrm{AB}. Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος \mathrm{PQ}.


\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); 
\draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); 
\draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); 
 
%apply styling  
 
\draw (-3, 0) node[below]{A}; 
\draw (3, 0) node[below]{B}; 
\draw (1, 0) node[below]{P}; 
\draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; 
\draw (-1, 0) node[below]{20}; 
\draw (2, 0) node[below]{6}; 
 
%style angle 
 
\draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; 
\draw (0.2, 0.5) node[]{60}; 
 
\end{tikzpicture}}


Με ACD \bot PQ είναι PC=10 ,το  \triangle ZOP είναι ισόπλευρο και το QDBE ισοσκελές τραπέζιο.

Είναι ,DZ=PB=6, και προφανώς  \triangle QDZ= \triangle PBE άρα QZ=PE=x

Ισχύει QP.PE=AP.PB \Rightarrow (x+7).x=120 \Rightarrow x^2+7x-120=0 με δεκτή ρίζα x=8 άρα PQ=15


Αναζήτηση ευθ.τμήματος.png
Αναζήτηση ευθ.τμήματος.png (100.5 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης