ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα απόδειξη της παραπάνω Πρότασςης Β10.

Αγαπητοί φίλοι,
Την νέα απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 3, Σελίδα βιβλίου 339 ή ψηφιακή 349 , Πρόταση 2z(60),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1YBEELC ... Lkre9/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 339, ψηφιακή 349, παράγραφος 2ζ(60).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.[/color]
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση Γνωστής μας Πρότασης.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β11 και ζητώ την απόδειξή της και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

β11. Κάθε τρίγωνο, έχει ίσα με το τετράγωνο της διαμέτρου του περιγεγραμμένου του κύκλου, τα τρία αθροίσματα, των τετραγώνων των αποστάσεων της κάθε κορυφής του ορθικού τριγώνου, από τις τρεις κορυφές και το ορθόκεντρο του τριγώνου αναφοράς.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[Mihalis_Lambrou]

Επέκταση Γνωστής μας Πρότασης.

β11. Κάθε τρίγωνο, έχει ίσα με το τετράγωνο της διαμέτρου του περιγεγραμμένου του κύκλου, τα τρία αθροίσματα, των τετραγώνων των αποστάσεων της κάθε κορυφής του ορθικού τριγώνου, από τις τρεις κορυφές και το ορθόκεντρο του τριγώνου αναφοράς.

.
Ξαναπροτάθηκε πρόσφατα εδώ, βλέπε ποστ #282. Επίσης στο #283 ανάρτησα απλή λύση.

Το κυριότερο, με αφορμή το θέμα αυτό παράθεσα στα ποστ #284 και #285 έναν εκτενή κατάλογο Τυπολογίων οι οποίοι μεταξύ πολλών άλλων περιέχουν το παραπάνω θέμα πολλές δεκαετίες νωρίτερα.

[ΝΙΚΟΣ]

Η παραπάνω Πρόταση Β11, δεν είναι ίδια με την Πρόταση Α9.
Η Πρόταση Β11, αποτελεί επέκταση της Α9, το οποίο και αναφέρεται εκεί.


Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παραπάνω Πρότασςης Β11.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 4, Σελίδα βιβλίου 179 ψηφιακή 185, Πρόταση 4η(124),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1rjw3sG ... uNym9/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 179, ψηφιακή 185, παράγραφος 4η(124).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρε7α σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.[/color]
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση Γνωστής μας Πρότασης και σε Πεντάγωνα.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β12 και ζητώ την απόδειξή της και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

β12. Σε κάθε κυρτό πεντάπλευρο, του οποίου οι διχοτόμοι των τεσσάρων γωνιών του συντρέχουν, στο ίδιο σημείο συντρέχει και η πέμπτη διχοτόμος του..

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[Mihalis_Lambrou]

β12. Σε κάθε κυρτό πεντάπλευρο, του οποίου οι διχοτόμοι των τεσσάρων γωνιών του συντρέχουν, στο ίδιο σημείο συντρέχει και η πέμπτη διχοτόμος του..

Είναι απόλυτα άμεσο και, ούτως ή άλλως, ο συλλογισμός είναι ακριβώς ο ίδιος με την περίπτωση των τριγώνων. Άλλωστε γενικεύεται και σε κυρτά Ν-γωνα των οποίων συντρέχουν οι διχοτόμοι. Πράγματι, αν φέρουμε κάθετες στις πλευρές από το κοινό σημείο των διχοτόμων, τότε είναι όλες ίσες από ιδιότητα της διχοτόμου. Άρα το σημείο αυτό βρίσκεται στην τελευταία διχοτόμο, από το αντίστροφο της ιδιότητας της διχοτόμου που μόλις χρησιμοποιήσαμε.

Κατά την γνώμη μου δεν έχει νόημα να ονομάζουμε πρωτοεμφανιζόμενες κάποιες προτάσεις με απλές αποδείξεις των δύο γραμμών και μάλιστα με κοινότατο επιχείρημα. Θα τις έβλεπα ως ένα απλό βήμα σε μία σε μία πιο απαιτητική απόδειξη, χωρίς ανάγκη επισήμανσης.

[ΝΙΚΟΣ]

1. Αγαπητοί φίλοι, σε κάθε μου ανάρτησή εδώ, με την τελευταία μου παράγραφο, παραπέμπω στο ποστ 1, ως εξής:
«Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.».

2. Στο ποστ 1, μεταξύ άλλων, αναφέρονται και τα ακόλουθα:
«Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας.
α. Σ’ αυτό εδώ τον χώρο, θα σας παρουσιάζουμε στο εξής, ενδιαφέρουσες, κατά την γνώμη μας πρωτοεμφανιζόμενες Γενικεύσεις, Επεκτάσεις, Αποδείξεις γνωστών Προτάσεων - Προβλήματα- γ.τ. Γεωμετρίας, τις οποίες έχουμε επινοήσει κατά το παρελθόν και τις οποίες δεν είχαμε συναντήσει μέχρι τότε, στη γνωστή μας βιβλιογραφία, άσχετα αν εκ των υστέρων έχουμε συναντήσει κάποιες απ’ αυτές.
β. Για όλα αυτά θα θέλαμε να μας γνωρίζετε συγκεκριμένα αν τις έχετε συναντήσει, που, πότε και να κάνετε την σχετική καλοπροαίρετη κριτική σας.
γ. Εξυπακούεται ότι, οι παραπάνω Προτάσεις - Προβλήματα-γ.τ. Γεωμετρίας, μπορεί να είναι πολύ δύσκολα μέχρι και πολύ απλά. Στη δεύτερη περίπτωση, σωστό είναι οι κ. κ. Καθηγητές να τις αφήνουν για τους μαθητές, τουλάχιστον για ένα 24ωρο.
δ. Στόχος μας είναι απλά και μόνο να δημοσιεύσουμε στο mathematica όσο το δυνατό περισσότερες Γενικεύσεις, Επεκτάσεις, Αποδείξεις γνωστών Προτάσεων -Προβλήματα-γ.τ. Γεωμετρίας, μπορέσουμε και λιγότερο η συμμετοχή.
Οι ενδιαφερόμενοι μελετητές τούτων είναι δυνατό να δίνουν τις δικές τους Επεκτάσεις- Γενικεύσεις- Αποδείξεις και τα δικά τους σχόλια».

3. Ακόμη εδώ θα ήθελα να προσθέσω και την δική μου άποψη σε θέματα που συχνά παρατηρούμε:
α. Δε θα πρέπει να δίνονται υποδείξεις αντί αποδείξεων, γιατί είναι συνήθως δυσνόητες από μαθητές αλλά και παραβιάζουν τον κανονισμό (Δεοντολογία § 16).
β. Η ονομασία των Θεωρημάτων και των Γεωμετρικών Προτάσεων δεν πρέπει να γίνεται με κριτήριο αν είναι εύκολες οι αποδείξεις τους η όχι (Βλέπε για παράδειγμα Θεώρημα § 95, της Γεωμ. Γ. Χ. Παπανικολάου 1966 σελ. 75, με πολύ απλή απόδειξη).

4. Επειδή παρατήρησα ότι τα παραπάνω δε λαμβάνονται υπόψη, θα ήθελα να παρακαλέσω και πάλι να λαμβάνονται πάντα υπόψη, προς αποφυγή παρεξηγήσεων.

5. Τα παραπάνω αναφερόμενα πιστεύω ότι δίνουν απαντήσεις σε διάφορους υπαινιγμούς.

Ευχαριστώ για την προσοχή σας.
Καλά Χριστούγεννα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[Mihalis_Lambrou]

3. Ακόμη εδώ θα ήθελα να προσθέσω και την δική μου άποψη σε θέματα που συχνά παρατηρούμε:

β. Η ονομασία των Θεωρημάτων και των Γεωμετρικών Προτάσεων δεν πρέπει να γίνεται με κριτήριο αν είναι εύκολες οι αποδείξεις τους η όχι (Βλέπε για παράδειγμα Θεώρημα § 95, της Γεωμ. Γ. Χ. Παπανικολάου 1966 σελ. 75, με πολύ απλή απόδειξη).

4. Επειδή παρατήρησα ότι τα παραπάνω δε λαμβάνονται υπόψη, θα ήθελα να παρακαλέσω και πάλι να λαμβάνονται πάντα υπόψη, προς αποφυγή παρεξηγήσεων.

.

Η κρίση ότι ένα θεώρημα είναι βαθύ ή ρηχό, ότι είναι νέο ή γνωστό, ότι η απόδειξή του έχει δεξιοτεχνία ή είναι κοινοτυπία, έχει έναν και μόνον έναν οδηγό: τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.

Το να ακολουθούμε πιστά τους όρους στο ποστ #1 για το πώς πρέπει να γίνονται οι κρίσεις, δεσμεύει την ακαδημαϊκή ελευθερία η οποία δεν πρέπει ΠΟΤΕ να ποδηγετείται.

Στο θέμα μας, το οποίο προκάλεσε τα παραπάνω: Σχολίασα ότι η παρατήρηση ότι στο πεντάγωνο συγκλίνουν οι διχοτόμοι αν συγκλίνουν οι , είναι άμεσο, με κοινότατο και απλό συλλογισμό (τον οποίο έγραψα). Αμφιβάλλει κανείς; Ο καθένας μπορεί να κρίνει.

Φυσικά στα Μαθηματικά επιτρέπονται απλά θέματα, όπως η αναφερθείσα παραπομπή στην Γεωμετρία του Παπανικολάου. Η διαφορά είναι ότι ο Παπανικολάου παραθέτει το κείμενό του χωρίς τους προσδιορισμούς "πρωτοεμφανιζόμενο", "γενίκευση", "επέκταση" όταν δεν πρόκειται για τέτοια.

Όλα τα Μαθηματικά είναι ευπρόσδεκτα, ακόμα και τα απλά. Όμως, επειδή μας διαβάζουν αρχάριοι μαθητές καλό είναι να μην τους δίνουμε την αίσθηση ότι κάποιο συγκεκριμένο θέμα είναι σπουδαιότερο από ότι πραγματικά είναι. Ας μένει στις σωστές του διαστάσεις.

[ΝΙΚΟΣ]

Παραπέμπω στο παραπάνω ποστ 48.


Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Αποδείξεις της παραπάνω Πρότασςης Β12.

Αγαπητοί φίλοι,
ΔΫΟ αποδείξεις μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 6, Σελίδα βιβλίου 300 ψηφιακή 306, Πρόταση 6ι(206),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1HkhS6E ... EOwb6/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 300, ψηφιακή 306, παράγραφος 6ι(206).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.[/color]
Ο Αϊνστάϊν έλεγε ότι "Προτού ασχοληθεί με κάποιο σοβαρό πρόβλημα, μελετά λογική και την Αγία Γεωμετρία", όπως την αποκαλούσε.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Απόδειξη Γνωστής μας Πρότασης

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β13 και ζητώ νέα απόδειξή της και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

Κριτήριο 2 Αρμονικότητας Τετράπλευεου.
β13. Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο κυρτό τετράπλευρο, έχει ίσα τα δύο γινόμενα των απέναντι πλευρών του, αν και μόνο αν είναι αρμονικό.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Γεωμετρία: “Καμία άλλη επιστήμη δεν συνδυάζει τόσο τέλεια την χάρη, την αρμονία και την αδιαφιλονίκητη λογική και κριτική σκέψη ”.

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παραπάνω Πρότασςης Β13.

Αγαπητοί φίλοι,
Απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2, Σελίδα βιβλίου 172 ψηφιακή 198, Πρόταση 2β(21),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 172, ψηφιακή 198, παράγραφος 2β(21).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.
ΧΡΌΝΙΑ ΠΟΛΑ. ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Οταν αποστρατεύτηκα τρεις ήταν οι επιλογές μου:
Να ασχοληθώ με τα αντικείμενα του Πολιτικού Μηχανικού, που μου άρεσαν, είχα τις γνώσεις και σχετική πείρα, καθώς είχα εργασθεί εκτός από το στρατό και σε τεχνικά γραφεία, ενώ θα είχα και σημαντικά οικονομικά οφέλη. Να ασχοληθώ με την Ζωγραφική, καθώς είχα και αυτή την δυνατότητα, ή να ασχοληθώ με την γοητευτική Ευκλείδεια Γεωμετρία. Προτίμησα την Γεωμετρία και τα περνώ όμορφα και ωραία, αλλά και αρμονικά.

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση του Θεωρήματος Gergonne και σε πεντάγωνο.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β14 και ζητώ την απόδειξή της και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

β14. Κάθε περιγεγραμένο σε κύκλο πεντάγωνο, αν οι τέσσερις από τις πέντε ευθείες του, που η κάθε μια συνδέει μια κορυφή του με το σημείο επαφής της απέναντι πλευράς του, συντρέχουν, τότε στο ίδιο σημείο θα συντρέχει και η πέμπτη από τις ευθείες αυτές.

Δύο δικές μου αποδίιξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

ΧΡΌΝΙΑ ΠΟΛΑ. ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Υ.Γ: Με κολακεύει η ανακάλυψη κάποιας άγνωστης μέχρι τώρα αλήθειας στη Γεωμετρία, σημαντικής ή μη, που μέχρι τώρα κανένας άλλος δεν την γνώριζε. ” :

[Mihalis_Lambrou]

Επέκταση του Θεωρήματος Gergonne και σε πεντάγωνο.

β14. Κάθε περιγεγραμένο σε κύκλο πεντάγωνο, αν οι τέσσερις από τις πέντε ευθείες του, που η κάθε μια συνδέει μια κορυφή του με το σημείο επαφής της απέναντι πλευράς του, συντρέχουν, τότε στο ίδιο σημείο θα συντρέχει και η πέμπτη από τις ευθείες αυτές.

.
Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα από το αντίστροφο Ceva (για πολύγωνα περιττού πλήθους πλευρών) και το γεγονός ότι τα μήκη των δύο εφαπτόμενων τμημάτων από σημείο σε κύκλο είναι ίσα. Στην περίπτωσή μας πρόκειται για τα τμήματα από τις κορυφές μέχρι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στο πεντάγωνο. Έτσι, το γινόμενο που δίνει Θεώρημα Ceva ισούται με την μονάδα γιατί απλοποιούνται ανά δύο όλοι οι όροι. Οι λεπτομέρειες άμεσες και γνωστές. Δεν τα γράφω γιατί η πληκτρολόγιση είναι επίπονη αλλά, κυρίως, γιατί καταγράφω μία ουσιαστική βελτίωσή του. Δεν την έχω δει πουθενά αλλά το να την ονομάσω προτοεμφανιζόμενη θα ήταν επιπόλαιο χωρίς ενδελεχή έρευνα στην παλιά βιβλιογραφία, προ αιώνος και βάλε.

Η γενίκευση:

Εάν σε ένα περiγγεγραμμένο πεντάγωνο οι τρεις από τις πέντε ευθείες του, που η κάθε μία συνδέει μία κορυφή του με το σημείο επαφής της απέναντι πλευράς του, συντρέχουν, τότε η μία από αυτές και οι άλλες δύο επίσης συντρέχουν.

Στο σχήμα, δίνεται ότι οι (κόκκινες) συντρέχουν στο , και το συμπέρασμα είναι ότι τότε η μία από τις τρεις (στο σχήμα είναι η ) και οι επίσης συντρέχουν, στο .

Εννοείται ότι αν (όπως στο παραπάνω) συντρέχουν οι τέσσερις, τότε τα συμπίπτουν για τετριμμένο λόγο, οπότε έπεται αμέσως η προταθείσα άσκηση.

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παραπάνω Πρότασςης Β14.

Αγαπητοί φίλοι,
Δύο αποδειξεις μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 6, Σελίδα βιβλίου 304 ψηφιακή 310, Πρόταση 6ι(208),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1HkhS6E ... EOwb6/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 304, ψηφιακή 310, παράγραφος 6ι(208).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Υπενθυμίζουμε λίγα για την Ευκλείδεια Γεωμετρία: Η Ευκλείδεια Γεωμετρία, είναι η κατεξοχήν Ελληνική Επιστήμη, καθώς πρώτος ο Θαλής την θεμελίωσε ως Επιστήμη, εισάγοντας την απόδειξη και ακολούθησε ο Ευκλείδης με το διαχρονικό και ανεπανάληπτο έργο του, τα "ΣΤΟΙΧΕΙΑ". Έτσι, με βάσει την απόδειξη, ξεκίνησε η ανάπτυξη και των άλλων επιστημών.

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΚΥΡΟ

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παραπάνω Πρότασςης Β15

Αγαπητοί φίλοι,
Τρεις αποδειξεις μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 6, Σελίδα βιβλίου 243 ψηφιακή 249, Πρόταση 6ι(170),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1HkhS6E ... EOwb6/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 243, ψηφιακή 249, παράγραφος 6ι(170).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Ο Pascal έλεγε ότι: «Η Γεωμετρία είναι σχεδόν η μόνη από τις επιστήμες που δίνει αλάνθαστα συμπεράσματα, γιατί αυτή μόνο ακολουθεί μια πραγματική μέθοδο, ενώ όλες οι άλλες βρίσκονται σε ένα είδος σύγχυσης...., Διάλεξα την επιστήμη αυτή, γιατί μόνο αυτή γνωρίζει τους πραγματικούς νόμους της λογικής».

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση Γνωστής μας Πρότασης.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β16 και ζητώ την απόδειξή της και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

β16. Οι δύο κύκλοι, που έχουν χορδές ο ένας την εσωτερική και ό άλλος την εξωτερική διχοτόμο της ίδιας γωνίας τριγώνου, και οποίοι εφάπτονται στην απέναντι της γωνίας αυτής πλευρά του τριγώνου, εφάπτονται (οι δύο κύκλοι αυτοί) και μεταξύ τους.

Τρεις δικές μου αποδίιξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ στη Γεωμετρία αποτελεί ένα αλάνθαστο εργαλείο, που μας επιτρέπει να λέμε: «ΕΙΜΑΙ ΒΕΒΑΙΟΣ ΟΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΌ, ΓΙΑΤΙ ΤΟ ΑΠΕΔΕΙΞΑ».

[konargyr14]

Καλησπέρα, η απόδειξή μου για την πρόταση Β16. Έστω τα κέντρα των κύκλων με χορδές την εσωτερική και την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας αντίστοιχα. Λόγω της σχέσης επίκεντρης γωνίας και γωνίας χορδής - εφαπτομένης προκύπτει: , ενώ όμοια είναι: . Όμως , αφού η γωνία που ορίζουν η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος γωνίας είναι ορθή. Άρα με πρόσθεση κατά μέλη των πρώτων δύο σχέσεων προκύπτει: . Αν η τέμνει την ευθεία στο , τότε απο την παραλληλία και έπεται . Συνεπως τα σημεία ταυτίζονται και άρα τα σημεία είναι συνευθειακά, από το οποίο έπεται ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται, αφού διαφορετικά αν υπήρχε δέυτερο σημείο τομής τους, έστω τότε το μέσον του και το σημείο θα άνηκαν και τα δύο στην , που είναι άτοπο.

Κωνσταντίνος

1.png (81.12 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές