Κάτι σαν θεώρημα.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 2002.png (14.76 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές

Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι (AED)=k(ADF)

.

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Παρ Απρ 05, 2024 12:55 pm 2002.png

Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι .

Φέρνω τις παράλληλες από τα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ προς την

και τέμνουν τις $BF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE\,\,$ στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ .

Από το τραπέζιο ETDA

είναι ${E_1} = \left( {ATD} \right)$ $\left( 1 \right)$ . Ισχύουν τώρα και οι παρακάτω αναλογίες :

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{ET}}{{AD}} = \frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{kb}}{{kb + b}} = \frac{k}{{k + 1}} \hfill \\ \frac{{SF}}{{AD}} = \frac{{CF}}{{CA}} = \frac{a}{{a + ka}} = \frac{1}{{k + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ,

: Κάτι σαν θεώρημα.png (32.61 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

$\dfrac{{TE}}{{SF}} = k \Rightarrow \dfrac{{TD}}{{DF}} = k$ . Η τελευταία και λόγω της $\left( 1 \right)$ δίδει : $\dfrac{{\left( {ATD} \right)}}{{\left( {ADF} \right)}} = \dfrac{{TD}}{{DF}} = k \Rightarrow \dfrac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = k \Leftrightarrow \boxed{{E_1} = k{E_2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Παρ Απρ 05, 2024 12:55 pm 2002.png

Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι .

Μενέλαος στο τρίγωνο ABF

με διατέμνουσα EDC

:

$\dfrac{FD}{DB}. \dfrac{BE}{EA}. \dfrac{CA}{ CF }= 1 \Rightarrow \dfrac{FD}{DB}.k.(k+1) \Rightarrow \dfrac{FD}{DB}= \dfrac{1}{k(k+1)}$

Μενέλαος στο τρίγωνο EFB

με διατέμνουσα DZA

:

$\dfrac{EZ}{ZF}. \dfrac{FD}{DB}. \dfrac{AB}{ AE }= 1 \Rightarrow \dfrac{EZ}{ZF}.\dfrac{1}{ k(k+1) }.(k+1)=1 \Rightarrow \dfrac{EZ}{ZF}= \dfrac{(AED)}{(ADF)}=k$

: κάτι σαν θεώρημα.png (12.72 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Παρ Απρ 05, 2024 12:55 pm 2002.png

Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι .

Από CEVA παίρνουμε $\dfrac{BQ}{QC}=k^2$

$\dfrac{Y}{X}=k \Rightarrow(ABD)=(k+1)X$

$\dfrac{S}{V}=k \Rightarrow V=\dfrac{1}{k}S \Rightarrow (ADC)= \dfrac{k+1}{k}S$

$\dfrac{(ABD)}{(ADC)}= \dfrac{BQ}{QC} =k^2 \Rightarrow \dfrac{(k+1)X}{ \dfrac{(k+1)}{k}S } =k^2 \Rightarrow \dfrac{X}{S}=k$

: κάτι σαν θεώρημα(1).png (13.52 KiB) Προβλήθηκε 644 φορές

Κάτι σαν θεώρημα.

Κάτι σαν θεώρημα.

Re: Κάτι σαν θεώρημα.

Re: Κάτι σαν θεώρημα.

Re: Κάτι σαν θεώρημα.

Μέλη σε σύνδεση