Κατασκευή για διπλή παραλληλία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1786
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Κατασκευή για διπλή παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Φεβ 01, 2024 11:40 pm

Καλό μήνα!
Το θέμα που ακολουθεί είναι προσωπικής επινόησης.
Όμως , πιθανότατα να κυκλοφορεί και να είναι γνωστό σε κάποιους..
geogebra-export 1-2-2024.png
geogebra-export 1-2-2024.png (211.62 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές
Θεωρούμε τραπέζιο ABCD με AB \parallel CD και φέρουμε MN \parallel AB,CD
όπου M  \in AD και N \in BC
Να εντοπιστεί (με Γεωμετρική κατασκευή ) η θέση του M ώστε να ισχύει και AN  \parallel MC

Σας ευχαριστώ,
Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13153
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή για διπλή παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 02, 2024 9:11 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Φεβ 01, 2024 11:40 pm
Καλό μήνα!
Το θέμα που ακολουθεί είναι προσωπικής επινόησης.
Όμως , πιθανότατα να κυκλοφορεί και να είναι γνωστό σε κάποιους..

geogebra-export 1-2-2024.png
Θεωρούμε τραπέζιο ABCD με AB \parallel CD και φέρουμε MN \parallel AB,CD
όπου M  \in AD και N \in BC
Να εντοπιστεί (με Γεωμετρική κατασκευή ) η θέση του M ώστε να ισχύει και AN  \parallel MC

Σας ευχαριστώ,
Γιώργος.
Καλό μήνα!

Έστω AB=a, CD=b. Προφανώς οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, όπως και οι κόκκινες.

Έτσι τα τρίγωνα DMC, MAN είναι όμοια, καθώς επίσης και τα CMN, NAB.
Κατασκευή για διπλή παραλληλία.png
Κατασκευή για διπλή παραλληλία.png (10.22 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Άρα, \displaystyle \frac{b}{{MN}} = \frac{{DM}}{{MA}} = \frac{{CN}}{{NB}} = \frac{{MN}}{a} \Rightarrow M{N^2} = ab, οπότε \boxed{\frac{{DM}}{{MA}} = \sqrt {\frac{b}{a}}}

που σημαίνει ότι το σημείο M εντοπίζεται με γεωμετρική κατασκευή.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2226
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή για διπλή παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τετ Φεβ 07, 2024 1:22 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Θεωρούμε τραπέζιο ABCD με AB \parallel CD και φέρουμε MN \parallel AB,CD, όπου M  \in AD και N \in BC.
Να εντοπιστεί (με Γεωμετρική κατασκευή ) η θέση του M ώστε να ισχύει και AN  \parallel MC.
\bullet Έστω ότι έχουν βρεθεί τα σημεία M,\ N, επί των πλευρών AD,\ BC αντιστοίχως, ώστε AB\parallel MN\parallel CD και AN\parallel MC
και έστω το σημείο E\equiv AD\cap BC.

Από MC\parallel AN\Rightarrow \displaystyle \frac{EM}{EA} = \frac{EC}{EN}\ \ \ \ (1) και από DC\parallel MN\Rightarrow \displaystyle \frac{EC}{EN} = \frac{ED}{EM}\ \ \ \ (2)

Από (1),\ (2)\Rightarrow \displaystyle \frac{EM}{EA} = \frac{ED}{EM}\Rightarrow \boxed{(EM)^{2} = (ED)(EA)}\ \ \ \ (3)
f=22_t=75360.PNG
Κατασκευή για διπλή παραλληλία.
f=22_t=75360.PNG (17.95 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές
\bullet Από (3) προκύπτει ότι το σημείο M\in AD κατασκευάζεται εύκολα ως εξής :

Γράφουμε το ημικύκλιο (K) με διάμετρο το τμήμα AM και ας είναι EZ, η εφαπτομένη του (K) από το σημείο E.

Το ζητούμενο σημείο M προσδιορίζεται ως το σημείο τομής της πλευράς AD, από τον κύκλο με κέντρο το σημείο E και ακτίνα EZ και άρα ισχύει η (3).

Αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύει AN\parallel MC, όπου N\in BC ώστε MN\parallel AB και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1786
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κατασκευή για διπλή παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Φεβ 09, 2024 8:05 am

Καλημέρα!
Ευχαριστώ θερμά τους Γιώργο και Κώστα για την κάλυψη του παρόντος!


Η σχέση (3) στην απόδειξη του Κώστα είναι το ζητούμενο
στην άσκηση Εμπέδωσης 3 παράγραφο 7.7 του σχολικού.
Ας δώσω και την κατασκευή που είχα κατά νου, η οποία προκύπτει από την σχέση: \dfrac{AM}{MD}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}

που έδειξε ο Γιώργος πιο πάνω.
9-2 Διπλή παραλληλία.png
9-2 Διπλή παραλληλία.png (333.98 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές
Συνοπτικά: Στο σχήμα ο κύκλος είναι διαμέτρου AE=a+b και HB \perp AE.

Προεκτείνουμε HF=HE και φέρουμε HM \parallel FD. Τότε ισχύουν \dfrac{AM}{MD}=\dfrac{AH}{AF}=\dfrac{AH}{AE}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}
συνεπώς το σημείο M είναι το ζητούμενο.

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2226
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή για διπλή παραλληλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Φεβ 10, 2024 8:41 pm

Άλλος ένας τρόπος κατασκευής του σημείου M, βασισμένος στην ισότητα (MN)^{2} = ab στην λύση του Γιώργου πιο πάνω (#2), είναι η εξής :

\bullet Έστω τοε σημείο E\in AB ώστε το EBCD να είναι παραλληλόγραμμο ( BE = CD = b και AB = a ) και ας είναι (K) το ημικύκλιο με διάμετρο την πλευρά AB.

Η δια του σημείου E κάθετη ευθεία επί την AB τέμνει το ημικύκλιο (K) στο σημείο έστω Z και ας είναι F, το σημείο τομής της AB από το τόν κύκλο με κέντρο το σημείο B και ακτίνα BZ.
f=22_t=75360 (a).PNG
Κατασκευή για διπλή παραλληλία - Προσδιορισμός του σημείου Μ.
f=22_t=75360 (a).PNG (16.52 KiB) Προβλήθηκε 64 φορές
\bullet Τέλος, η δια του σημείου F παράλληλη ευθεία προς την BC τέμνει την AD στο σημείο M για το οποίο ισχύει

{(MN)^{2} = (BF)^{2} =(BZ)^{2} = (BE)(BA) = ab}\Rightarrow \boxed{(MN)^{2} = ab}} όπου N\in BC ώστε να είναι MN\parallel AB.

Κώστας Βήττας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης