Εμβαδόν τριγώνου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3549
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Δεκ 22, 2023 7:35 am

shape.jpg
shape.jpg (22.56 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές
Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου BED.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13364
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 22, 2023 9:06 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Παρ Δεκ 22, 2023 7:35 am
shape.jpgΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου BED.
Εμβαδόν τριγώνου.ΜΝ2..png
Εμβαδόν τριγώνου.ΜΝ2..png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές
\displaystyle \frac{X}{{207 + X}} = {\left( {\frac{{DE}}{{AC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{DEy}}{{ACy}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{126}}{{288}}} \right)^2} = \frac{{49}}{{256}} \Leftrightarrow \boxed{X=49}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1789
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Δεκ 23, 2023 7:34 am

Καλημέρα στους φίλους!
Ας δείξουμε μια γενικότερη σχέση των εμβαδών.
23-12 Εμβαδόν τριγώνου Μ.Ν.png
23-12 Εμβαδόν τριγώνου Μ.Ν.png (202.21 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Στο σχήμα αν DE \parallel AC και \left ( CAD \right )=M , \left ( DEC \right )=N τότε: \left ( BED \right )=X=\dfrac{N^{2}}{M-N}

Πράγματι: Τα τρίγωνα CAD,DEC έχουν ίσα ύψη (αφού DE \parallel AC ) άρα \dfrac{N}{M}=\dfrac{DE}{CA}.

Από τα όμοια BED,BAC παίρνουμε \dfrac{X}{M+N+X}=\left ( \dfrac{DE}{CA} \right )^{2}=\dfrac{N^{2}}{M^{2}}.

Προκύπτει τελικά \left ( BED \right )=X=\dfrac{N^{2}}{M-N}

Στο αρχικό πρόβλημα έχουμε προφανώς DE \parallel AC και M=144, N=63 οπότε \left ( BED \right )=\dfrac{63^{2}}{144-63}=49

Τέλος μια .. :) .. γνωστή εφαρμογή: Στο ως άνω σχήμα αν \left ( CAD \right )=\Phi ^{3} και \left ( DEC \right )=\Phi
(όπου \Phi ο χρυσός αριθμός) , τότε \left ( BED \right )=\dfrac{\Phi ^{2}}{\Phi^{3}-\Phi }\Rightarrow \boxed{\left ( BED \right )=1}

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ σε όλους! Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5286
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Δεκ 23, 2023 9:30 am

Στέλνοντας ευχές στους αγαπητούς φίλους, μια ακόμα προσέγγιση:

23-12-2023 Γεωμετρία.jpg
23-12-2023 Γεωμετρία.jpg (23.11 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές


Είναι  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
xy = 288\\ 
ty = 126 
\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{16}}{7}t

Από την ομοιότητα των BED, ABC είναι  \displaystyle \frac{t}{x} = \frac{v}{{y + v}} \Leftrightarrow ty + tv = vx

και με τις παραπάνω ισότητες, έχουμε  \displaystyle 126 + tv = \frac{{16}}{7}tv \Leftrightarrow tv = 98 \Rightarrow E = 49


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες