Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.

#1

Το

είναι στο εσωτερικό παραλληλογράμμου ABCD

έτσι ώστε οι γωνίες $\angle KAB, \, \angle KCB$ είναι ίσες. Δείξτε ότι

α) Οι γωνίες $\angle KBA, \, \angle KDA$ είναι ίσες.

β) Οι γωνίες $\angle AKB, \, \angle CKD$ είναι παραπληρωματικές.
.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 24, 2023 2:03 pm
Το είναι στο εσωτερικό παραλληλογράμμου έτσι ώστε οι γωνίες $\angle KAB, \, \angle KCB$ είναι ίσες. Δείξτε ότι

α) Οι γωνίες $\angle KBA, \, \angle KDA$ είναι ίσες.

β) Οι γωνίες $\angle AKB, \, \angle CKD$ είναι παραπληρωματικές.
.

Κατασκευάζοντας το παραλ/μμο KCBL

είναι ίσες οι πράσινες γωνίες ,οπότε ALBK

εγγράψιμμο κι επιπλέον το

ALKD

προφανώς είναι παραλ/μμο( BC=//AD=//KL

)

Έτσι τα τρίγωνα ALB,DKC

είναι ίσα (Π-Π-Π) άρα $\angle DKC= \angle ALB$ και

$\angle ALB+AKB=180^0 \Rightarrow \angle DKC+AKB=180^0$ και φυσικά οι γωνίες

είναι ίσες

: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 304 φορές

STOPJOHN · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 24, 2023 2:03 pm
Το είναι στο εσωτερικό παραλληλογράμμου έτσι ώστε οι γωνίες $\angle KAB, \, \angle KCB$ είναι ίσες. Δείξτε ότι

α) Οι γωνίες $\angle KBA, \, \angle KDA$ είναι ίσες.

β) Οι γωνίες $\angle AKB, \, \angle CKD$ είναι παραπληρωματικές.
.

Εστω

Τότε απο τα παραλληλόγραμμα TKMA,MKLB,KNCL,TKND

είναι $\hat{KAB}=\hat{AKT}=\hat{KCL},\hat{TAK}=\hat{AKM}=\hat{CKL}=\hat{KCD}$ Οπότε τα τρίγωνα
ATK,KLC

είναι όμοια και $\dfrac{TK}{LC}=\dfrac{AK}{KL}=\dfrac{AK}{KC},(1),$
Στα τρίγωνα KLB,DNK

είναι $\hat{KDN}=\hat{BCD}=\hat{KLB}$ και λόγω της (1)

τα χρωματιστα τρίγωνα είναι ομοια αρα $\hat{x}=\hat{k}$

Για το δευτερο ερώτημα στο τρίγωνο DNK

$\hat{DNK}+\hat{DKN}+\hat{KND}=180^{0}\Rightarrow \hat{AKB}+\hat{CKD}=180^{0}$

#4

Από την ομοιότητα των κεντρικών δεσμών (DA, DK, DC)

και

προκύπτει ότι οι λόγοι των αποστάσεων του

από τις

και τις

είναι ίσοι. Το τελευταίο όμως ισοδυναμεί με την ισότητα των λόγων των αποστάσεων του

από τις

και τις

. Επομένως και οι δέσμες (AD, AK, AB)

και

είναι όμοιες, δηλαδή οι ζητούμενες γωνίες είναι ίσες.
Για το δεύτερο ερώτημα, βλέπουμε ότι οι άλλες εκτός της K γωνίες των τριγώνων KAB, KBC

έχουν άθροισμα 180^0

.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 24, 2023 2:03 pm
Το είναι στο εσωτερικό παραλληλογράμμου έτσι ώστε οι γωνίες $\angle KAB, \, \angle KCB$ είναι ίσες. Δείξτε ότι

α) Οι γωνίες $\angle KBA, \, \angle KDA$ είναι ίσες.

β) Οι γωνίες $\angle AKB, \, \angle CKD$ είναι παραπληρωματικές.
.

( Μέθοδος προσηρτημένου παραλληλογράμμου –Αρίστος Δημητρίου σελίδα 68)

Από το

φέρνω την KT// = AD

.

Επειδή $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ αναγκαστικά και $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ Αλλά από το παραλληλόγραμμο AKTD

, $\widehat {{a_3}} = \widehat {\theta _{}^{}}$ και άρα το τετράπλευρο KDTC

είναι εγγράψιμο . Έτσι :

$\widehat {x_{}^{}} = \widehat {{x_1}}$ ( πλευρές παράλληλες) , $\widehat {{x_1}} = \widehat {{x_2}}$ ( από το εγγράψιμο KDTC

) και $\widehat {{x_2}} = \widehat {y_{}^{}}$ (εντός εναλλάξ).

: Ισες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.png (29.95 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

Άρα $\boxed{\widehat {x_{}^{}} = \widehat {y_{}^{}}}$

β) $\widehat {BKA} = \widehat {CTD}$ ( πλευρές παράλληλες) και $\widehat {CTD}$ παραπληρωματική της $\widehat {DKC}$ ( από το εγράψιμο KDTC

)

Άρα : $\widehat {BKA}$ παραπληρωματική της $\widehat {DKC}$ .

Παρατήρηση :

Δεν είναι τώρα δύσκολο να δούμε ότι και τα τέσσερα τρίγωνα που είναι μέσα στο παραλληλόγραμμο με κοινή κορυφή το έχουν ίσους περιγεγραμμένους κύκλους

Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.

Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.

Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.

Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.

Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.

Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.

Μέλη σε σύνδεση