Εγκεντρικόν

#1

Με αφορμή αυτό και αυτό, προτείνω:

Αν AB+CI=AC+BI

, όπου

το έγκεντρο του ABC,

να δειχθεί ότι το ABC

είναι ισοσκελές.

#2

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2023 7:08 pm
Με αφορμή αυτό και αυτό, προτείνω:

Αν , όπου το έγκεντρο του να δειχθεί ότι το είναι ισοσκελές.

Καλημέρα Γιώργο!

Ως γνωστόν, $\displaystyle IB = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2},IC = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}$

$\displaystyle b - c = IC - IB \Leftrightarrow 2R\left( {\sin B - \sin C} \right) = 4R\sin \frac{A}{2}\left( {\sin \frac{B}{2} - \sin \frac{C}{2}} \right)$

$\displaystyle \sin \frac{{B - C}}{2}\cos \frac{{B + C}}{2} = 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{{B - C}}{4}\cos \frac{{B + C}}{4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\cos \frac{{B + c}}{2} = \sin \frac{A}{2}}$

$\displaystyle \sin \frac{{B - C}}{4}\cos \frac{{B - C}}{4} = \sin \frac{{B - C}}{4}\cos \frac{{B + C}}{4},$ απ' όπου παίρνω

$\boxed{\widehat B = \widehat C}$ ή $\displaystyle \cos \frac{{B - C}}{4} = \cos \frac{{B + C}}{4},$ που είναι αδύνατη για γωνίες τριγώνου.

#3

Λίγο πιο σύντομα:

Το δεδομένο είναι το $\displaystyle{c-b=IB-IC}$ , οπότε έχουμε (από τις σχέσεις που γράφει ο Γιώργος παραπάνω)

$\displaystyle{c\ge b\iff IB\leq IC \iff \sin \frac{C}{2}\leq \sin \frac{B}{2}\iff \angle C\leq \angle B\iff c\leq b.}$

Άρα $\displaystyle{b=c.}$

Μπορούμε να αποφύγουμε τη τριγωνομετρία, αν πούμε $\displaystyle{IB^2=r^2+(s-b)^2}$ κτλ.

#4

Αλλιώς, από του τύπους των διχοτόμων, όπου

η διχοτόμος από την κορυφή

: Εγκεντρικόν.png (9.42 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} I{C^2} = bDC - IA \cdot ID \hfill \\ I{B^2} = cBD - IA \cdot ID \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow (IC - IB)(IC + IB) = \frac{{a{b^2} - a{c^2}}}{{b + c}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{IC - IB = b - c}$

$\displaystyle (b - c)(IB + IC) = a(b - c) \Leftrightarrow$ $\boxed{b=c}$ ή IB+IC=a,

που αντίκειται στην τριγωνική ανισότητα.

#5

Ας το δούμε κι αλλιώς. Γράφουμε

b- c=IC-IB

Αυτό σημαίνει ότι τα A, I

ανήκουν στην ίδια υπερβολή με εστίες B, C

. Αλλά η διχοτόμος

είναι εφαπτομένη της υπερβολής (ανακλαστική ιδιότητα) και επειδή τα A, I

είναι διαφορετικά σημεία, τα οποία ανήκουν και στην υπερβολή και στην εφαπτομένη της, η υπερβολή είναι εκφυλισμένη σε ευθεία που είναι μεσοκάθετος της

. Άρα

Εγκεντρικόν

Εγκεντρικόν

Re: Εγκεντρικόν

Re: Εγκεντρικόν

Re: Εγκεντρικόν

Re: Εγκεντρικόν

Μέλη σε σύνδεση