Ορθοκεντρικόν

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3268
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Ορθοκεντρικόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Σεπ 19, 2023 11:41 am

Με αφορμή αυτό, προτείνω:

Να χαρακτηρισθούν τα τρίγωνα ABC για τα οποία ισχύει η AB+CH=AC+BH, όπου H το ορθόκεντρο του ABC.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12932
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθοκεντρικόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 19, 2023 7:37 pm

gbaloglou έγραψε:
Τρί Σεπ 19, 2023 11:41 am
Με αφορμή αυτό, προτείνω:

Να χαρακτηρισθούν τα τρίγωνα ABC για τα οποία ισχύει η AB+CH=AC+BH, όπου H το ορθόκεντρο του ABC.
Γεια σου Γιώργο!

\displaystyle b - c = CH - BH (1) Είναι ακόμα, \displaystyle \cos \theta  = \frac{{HD}}{{BH}},\cos \varphi  = \frac{{HD}}{{CH}}

Νόμος συνημιτόνων στα τρίγωνα AHC, AHB:
Ορθοκεντρικόν.png
Ορθοκεντρικόν.png (12.34 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  {b^2} = A{H^2} + C{H^2} + 2AH \cdot CH\frac{{HD}}{{CH}} \hfill \\ 
   \hfill \\ 
  {c^2} = A{H^2} + B{H^2} + 2AH \cdot BH\frac{{HD}}{{BH}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{( - )} {b^2} - {c^2} = C{H^2} - B{H^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} (b - c)(b + c - BH - HC) = 0

Είναι λοιπόν \boxed{b=c} ή b+c=BH+CH, δηλαδή \boxed{\widehat A=90^\circ}


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3268
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ορθοκεντρικόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Σεπ 19, 2023 10:40 pm

Καλησπέρα Γιώργο, έχεις αθέλητα περιοριστεί σε ορθογώνια ή οξυγώνια τρίγωνα (ειδικά στο σημείο b+c=BH+CH), υπάρχει όμως και ιδιαζόντως όμορφη αμβλυγώνια μη ισοσκελής λύση ... που βρήκα με χρήση συντεταγμένων (όπως και στο αρχικό πρόβλημα του Φάνη): θα επανέλθω αν χρειαστεί!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12932
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθοκεντρικόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 20, 2023 7:30 am

gbaloglou έγραψε:
Τρί Σεπ 19, 2023 10:40 pm
Καλησπέρα Γιώργο, έχεις αθέλητα περιοριστεί σε ορθογώνια ή οξυγώνια τρίγωνα (ειδικά στο σημείο b+c=BH+CH), υπάρχει όμως και ιδιαζόντως όμορφη αμβλυγώνια μη ισοσκελής λύση ... που βρήκα με χρήση συντεταγμένων (όπως και στο αρχικό πρόβλημα του Φάνη): θα επανέλθω αν χρειαστεί!
Καλημέρα Γιώργο!

Εξέτασα το τρίγωνο ως προς τη γωνία A αν είναι ορθή, οξεία ή αμβλεία. Μου διέφυγε η περίπτωση μία από τις γωνίες B, C να είναι αμβλεία. Φαντάζομαι εννοείς την περίπτωση να είναι b=CH, c=BH, δηλαδή η BC να είναι μεσοκάθετη της AH. Εκτός αν υπάρχει και κάτι άλλο, που δεν το βλέπω.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3268
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ορθοκεντρικόν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Σεπ 20, 2023 8:38 am

george visvikis έγραψε:
Τετ Σεπ 20, 2023 7:30 am
gbaloglou έγραψε:
Τρί Σεπ 19, 2023 10:40 pm
Καλησπέρα Γιώργο, έχεις αθέλητα περιοριστεί σε ορθογώνια ή οξυγώνια τρίγωνα (ειδικά στο σημείο b+c=BH+CH), υπάρχει όμως και ιδιαζόντως όμορφη αμβλυγώνια μη ισοσκελής λύση ... που βρήκα με χρήση συντεταγμένων (όπως και στο αρχικό πρόβλημα του Φάνη): θα επανέλθω αν χρειαστεί!
Καλημέρα Γιώργο!

Εξέτασα το τρίγωνο ως προς τη γωνία A αν είναι ορθή, οξεία ή αμβλεία. Μου διέφυγε η περίπτωση μία από τις γωνίες B, C να είναι αμβλεία. Φαντάζομαι εννοείς την περίπτωση να είναι b=CH, c=BH, δηλαδή η BC να είναι μεσοκάθετη της AH. Εκτός αν υπάρχει και κάτι άλλο, που δεν το βλέπω.
Γιώργο αυτό ακριβώς, b+c=BH+CH\rightarrow b=CH, c=BH (που πρέπει βεβαίως να αποδειχθεί).


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12932
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθοκεντρικόν

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 20, 2023 10:20 am

Στην πρώτη μου διαπραγμάτευση (#2), αποδείχτηκε ότι \boxed{b=c} ή \boxed{\widehat A=90^\circ} Εξετάστηκε η περίπτωση το τρίγωνο

να είναι οξυγώνιο, ενώ απορρίφθηκαν άμεσα η A να είναι αμβλεία ή μία από τις B, C να είναι ορθή. Θα εξετάσω τι

συμβαίνει αν μία από τις B,C είναι αμβλεία, έστω η B.
Ορθοκεντρικόν.b.png
Ορθοκεντρικόν.b.png (8.66 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές
Το τρίγωνο AHC είναι οξυγώνιο με ορθόκεντρο B οπότε σύμφωνα με την (#2) θα είναι \boxed{b=CH} άρα και \boxed{c=BH}


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3268
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ορθοκεντρικόν

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Σεπ 20, 2023 12:50 pm

Γιώργο πολύ ενδιαφέρουσα η παρατήρηση (και χρήση αυτής) ότι το Β είναι ορθόκεντρο του AHC, μου είχε διαφύγει! Πως όμως το γνωρίζουμε αυτό (εκ των προτέρων); Σε κάθε περίπτωση, παραθέτω την δική μου λύση αρχίζοντας όχι από την AC+AB=BH+CH (όπου εσύ έφτασες) αλλά από την δοθείσα AB+CH=AC+BH:

Θέτουμε A=(0,a), B=(b,0), C=(c,0), χωρίς να υποθέτουμε τίποτε για το πρόσημο των b < c (ώστε να καλύπτεται και η περίπτωση του αμβλυγώνιου τριγώνου). Μέσω των συνηθισμένων διαδικασιών (εξισώσεις ευθειών, συντελεστές κατεύθυνσης κλπ) προκύπτει και η H=\left(0,-\dfrac{bc}{a}\right).

Η δοθείσα AB+CH=AC+BH γράφεται τώρα ως

\sqrt{b^2+a^2}+\sqrt{c^2+\dfrac{b^2c^2}{a^2}}=\sqrt{c^2+a^2}+\sqrt{b^2+\dfrac{b^2c^2}{a^2}},

η οποία ύστερα από ύψωση στο τετράγωνο κλπ δίνει

(|c|-|b|)a^2=(|c|-|b|)|bc|.

Αν |c|-|b|=0 τότε υποχρεωτικά b=-c (ισοσκελές τρίγωνο κορυφής A).

Αν |c|-|b|\neq 0 τότε a^2=|bc|, οπότε ή a^2=-bc (ορθογώνιο τρίγωνο κορυφής A) ή a^2=bc (αμβλυγώνιο τρίγωνο κορυφής B).

[Στην δεύτερη περίπτωση αποδεικνύεται (εκ των υστέρων) ότι το B είναι όντως το ορθόκεντρο του AHC, καθώς από A=(0,a)=(0,\sqrt{bc}) και H=\left(0,-\dfrac{bc}{a}\right)=(0,-\sqrt{bc}) προκύπτουν οι συντελεστές -\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}} για την AB και \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} για την HC.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 414
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Ορθοκεντρικόν

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Σεπ 20, 2023 1:15 pm

Καλησπέρα!

Ας μου επιτραπεί ένα σχόλιο, αν και δε νομίζω ότι λέω κάτι καινούριο στη συζήτηση:

Σε κάθε τετράδα (A,B,C,H) που ικανοποιεί το ζητούμενο, αντιστοιχούν 3 αμβλυγώνια τρίγωνα και 1 οξυγώνιο τρίγωνο, αφού σε κάθε τρίγωνο η ζητούμενη σχέση, κάνοντας τις κατάλληλες αντιστοιχίσεις , εκφράζει την ίδια ιδιότητα. Εξαιρείται η περίπτωση που το ABC ορθογώνιο τρίγωνο, που αντιμετωπίζεται χωριστά.

Βρίσκοντας ,λοιπόν , όλα τα οξυγώνια τρίγωνα, βρίσκουμε όλες τις τετράδες σημείων και, ακολούθως, όλα τα αμβλυγώνια τρίγωνα.


Κώστας
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ορθοκεντρικόν

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Σεπ 20, 2023 5:14 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Σεπ 20, 2023 10:20 am
Στην πρώτη μου διαπραγμάτευση (#2), αποδείχτηκε ότι \boxed{b=c} ή \boxed{\widehat A=90^\circ} Εξετάστηκε η περίπτωση το τρίγωνο

να είναι οξυγώνιο, ενώ απορρίφθηκαν άμεσα η A να είναι αμβλεία ή μία από τις B, C να είναι ορθή. Θα εξετάσω τι

συμβαίνει αν μία από τις B,C είναι αμβλεία, έστω η B.

Ορθοκεντρικόν.b.png
Το τρίγωνο AHC είναι οξυγώνιο με ορθόκεντρο B οπότε σύμφωνα με την (#2) θα είναι \boxed{b=CH} άρα και \boxed{c=BH}
Ισχύει \measuredangle B=90^o+\measuredangle C


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3268
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ορθοκεντρικόν

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Σεπ 20, 2023 9:00 pm

ksofsa έγραψε:
Τετ Σεπ 20, 2023 1:15 pm
Καλησπέρα!

Ας μου επιτραπεί ένα σχόλιο, αν και δε νομίζω ότι λέω κάτι καινούριο στη συζήτηση:

Σε κάθε τετράδα (A,B,C,H) που ικανοποιεί το ζητούμενο, αντιστοιχούν 3 αμβλυγώνια τρίγωνα και 1 οξυγώνιο τρίγωνο, αφού σε κάθε τρίγωνο η ζητούμενη σχέση, κάνοντας τις κατάλληλες αντιστοιχίσεις , εκφράζει την ίδια ιδιότητα. Εξαιρείται η περίπτωση που το ABC ορθογώνιο τρίγωνο, που αντιμετωπίζεται χωριστά.

Βρίσκοντας ,λοιπόν , όλα τα οξυγώνια τρίγωνα, βρίσκουμε όλες τις τετράδες σημείων και, ακολούθως, όλα τα αμβλυγώνια τρίγωνα.
H ιδιότητα που αυζητάμε λοιπόν χαρακτηρίζει ορθογώνια τρίγωνα, ισοσκελή τρίγωνα (ενδεχομένως και αμβλυγώνια) και αμβλυγώνια τρίγωνα των οποίων το ορθόκεντρο είναι συμμετρικό μιας κορυφής ως προς την απέναντι πλευρά (και που πληρούν και την B = 90 + C).

[Όσον αφορά την παραπάνω τετράδα ... ας προστεθεί ότι οι κορυφές του οξυγώνιου ισοσκελούς τριγώνου είναι τα ορθόκεντρα των τριών 'εσωτερικών' αμβλυγωνίων τριγώνων.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1170
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Ορθοκεντρικόν

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Παρ Σεπ 22, 2023 9:10 pm

Αν O είναι το περίκεντρο του τριγώνου και OM, ON τα αντίστοιχα αποστήματα των AB, AC αντίστοιχα, τότε καθώς CH=2OM, BH=2ON, η δοσμένη σχέση ισοδυναμεί με την AM+OM=AN+ON και καθώς τα τμήματα αυτά έχουν σταθερό άθροισμα τετραγώνων (ίσο με το τετράγωνο της ακτίνας ΟΑ), θα είναι ένα προς ένα ίσα, οπότε η περίπτωση OM=ON και AM=AN δίνει ισοσκελές τρίγωνο, ενώ η OM=AN και ON=AM δίνει ορθογώνιο.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3268
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ορθοκεντρικόν

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Σεπ 24, 2023 11:43 pm

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2023 9:10 pm
Αν O είναι το περίκεντρο του τριγώνου και OM, ON τα αντίστοιχα αποστήματα των AB, AC αντίστοιχα, τότε καθώς CH=2OM, BH=2ON, η δοσμένη σχέση ισοδυναμεί με την AM+OM=AN+ON και καθώς τα τμήματα αυτά έχουν σταθερό άθροισμα τετραγώνων (ίσο με το τετράγωνο της ακτίνας ΟΑ), θα είναι ένα προς ένα ίσα, οπότε η περίπτωση OM=ON και AM=AN δίνει ισοσκελές τρίγωνο, ενώ η OM=AN και ON=AM δίνει ορθογώνιο.
Ανδρέα σ' ευχαριστώ, ας σημειώσω εδώ ότι η δεύτερη περίπτωση αντιστοιχεί ΚΑΙ σε αμβλυγώνιο τρίγωνο.


αμβλυγώνιο.png
αμβλυγώνιο.png (38.41 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ορθοκεντρικόν

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Σεπ 25, 2023 10:08 am

Ας το δούμε κι αλλιώς.

Τα σημεία A, H ανήκουν στην ίδια υπερβολή με εστίες τα B, C. Επομένως,

ή το H συμπιπτει με το A, οπότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο A,

ή το H είναι το δεύτερο σημείο τομής της υπερβολής με το ύψος AH, το οποίο είναι συμμετρικό του Α, ως προς την BC και έχουμε αμβλειγώνιο τρίγωνο,

ή η υπερβολή είναι εκφυλισμένη σε ευθεία, η οποία είναι μεσοκάθετος της BC, και το τρίγωνο είναι ισοσκελές.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες