Αντικανονικό πολύγωνο

KARKAR · #1

: Αντικανονικό πολύγωνο.png (9.41 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

Σε κύκλο ακτίνας

, θεωρούμε τρεις διαδοχικές χορδές :

AS=SP=ST=2

. Υπολογίστε την χορδή

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 18, 2023 8:50 pm
Αντικανονικό πολύγωνο.pngΣε κύκλο ακτίνας , θεωρούμε τρεις διαδοχικές χορδές :

. Υπολογίστε την χορδή .

Yπάρχουν πολλοί τρόποι αλλά ας δούμε έναν με απαγορευμένη Τριγωνομετρία: Αν $\angle AOS = \angle SOP = \angle POT = 2\theta$ τότε

$2= SA = SP=ST =2R\sin \theta = 10 \sin theta$ . Επίσης

$AT = 2R \sin 3\theta = 10 \sin 3\theta = 10 ( 3\sin \theta - 4 \sin ^3 \theta ) = 10\left ( 3\cdot \dfrac {2}{10} - 4\left ( \dfrac {2}{10} \right )^3 \right )= \dfrac {568}{100}=5,68$

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 18, 2023 8:50 pm
Σε κύκλο ακτίνας , θεωρούμε τρεις διαδοχικές χορδές:

. Υπολογίστε τη χορδή .

Το

είναι χαρταετός, το CPSA

ρόμβος, το $\triangleleft PTC$ ισοσκελές και τα $\triangleleft TPM, \triangleleft OPN$ όμοια. Από διπλό Πυθαγόρειο και λόγο ομοιότητας προκύπτει το ζητούμενο.

: sol.png (25.57 KiB) Προβλήθηκε 54 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 18, 2023 8:50 pm
Αντικανονικό πολύγωνο.pngΣε κύκλο ακτίνας , θεωρούμε τρεις διαδοχικές χορδές :

. Υπολογίστε την χορδή .

Προφανώς

. Έστω $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ οι προβολές του

στις χορδές αυτές και

του

στην

Από 2ο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle APS$ έχω: $A{P^2} - A{S^2} = 2PS \cdot NK \Rightarrow A{P^2} = 2x + 4\,\,\left( 1 \right)$

Επειδή : $OP = OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SP = SA$ η

είναι μεσοκάθετος στην

.

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle NOS$ προκύπτει : $O{N^2} = O{S^2} - N{S^2} = 25 - 1 = 24 \Rightarrow ON = 2\sqrt 6 \,\,\left( 2 \right)$

: Αντικανονικό.png (19.43 KiB) Προβλήθηκε 37 φορές

Εκφράζω τώρα το $\left( {OASP} \right)$ με δύο τρόπους και λόγω της $\left( 2 \right)$ έχω:

$\left\{ \begin{gathered} \left( {OASP} \right) = ON \cdot PS = 4\sqrt 6 \hfill \\ \left( {OASP} \right) = \dfrac{1}{2}AP \cdot OS = \dfrac{5}{2}AP \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AP = \dfrac{{8\sqrt 6 }}{5}\,\,\left( 3 \right)$

Από την $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ έχω την εξίσωση : $2x + 4 = \dfrac{{64 \cdot 6}}{{25}} \Leftrightarrow \boxed{x = \dfrac{{142}}{{25}}}$

Αντικανονικό πολύγωνο

Αντικανονικό πολύγωνο

Re: Αντικανονικό πολύγωνο

Re: Αντικανονικό πολύγωνο

Re: Αντικανονικό πολύγωνο

Μέλη σε σύνδεση