Κύκλοι σε ορθογώνιο τρίγωνο.

#1

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές $a, \, b,\, c$ είναι εγγεγραμμένοι

ίσοι κύκλοι οι οποίοι εφάπτονται μεταξύ τους ή στις πλευρές του τριγώνου, όπως στο σχήμα. Πόση είναι η ακτίνα του κάθε κύκλου; Στο σχήμα βλέπουμε την περίπτωση N=4

.

#2

: 1416.png (13.16 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές

Από το θεώρημα της διχοτόμου προέκυψε στο σχήμα το $\dfrac{cb}{a+c}$

Από ομοιότητα $\dfrac{r}{c-(2n-1)r}=\dfrac{\dfrac{cb}{a+c}}{c}$

Λύνουμε και βρίσκουμε $r=\dfrac{cb}{a+c+(2n-1)b}$

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 16, 2023 6:02 pm
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές $a, \, b,\, c$ είναι εγγεγραμμένοι ίσοι κύκλοι οι οποίοι εφάπτονται μεταξύ τους ή στις πλευρές του τριγώνου, όπως στο σχήμα. Πόση είναι η ακτίνα του κάθε κύκλου; Στο σχήμα βλέπουμε την περίπτωση .

Τα τρίγωνα $KAB, \, KBC, \, KCA$ έχουν ύψη $r, \, r, \, (2N-1)r$ , αντίστοιχα, οπότε είναι εύκολο να βρούμε τα εμβαδά τους. Έχουμε ακόμη

(ABC) = (KAB)+(KBC)+(KCA)

, οπότε

$\displaystyle{\dfrac {1}{2} bc = \dfrac {1}{2} cr+ \dfrac {1}{2} ar+ \dfrac {1}{2} (2N-1)b r}$ από όπου

$\displaystyle{r = \dfrac {bc}{c+a+(2N-1)b } }$

Κύκλοι σε ορθογώνιο τρίγωνο.

Κύκλοι σε ορθογώνιο τρίγωνο.

Re: Κύκλοι σε ορθογώνιο τρίγωνο.

Re: Κύκλοι σε ορθογώνιο τρίγωνο.

Μέλη σε σύνδεση