ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
ΑΡΘΡΟ 15. ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ ΤΗΣ.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 15, με τίτλο: «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ ΤΗΣ».

Υπογραμμίζω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολλές και Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στο «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ ΤΗΣ», στον αύξ. Αρ.4.].

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια κάνετε κλικ περιεχόμενα, κλίκ στη «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ ΤΗΣ», στον αύξ. Αρ.4. .

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
viewtopic.php?f=6&t=5323

[Mihalis_Lambrou]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
ΑΡΘΡΟ 15. ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ ΤΗΣ.[/u]
...
Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
...

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
...

.
Στο εν λόγω άρθρο αποδεικνύεται το Θεώρημα (αντιγράφω):

Σε κάθε εγγεγραμμένο εξάπλευρο, το γινόμενο των τριών λόγων των μηκών των διαδοχικών του πλευρών, είναι ίσο με τη μονάδα, αν και μόνο αν συγκλίνουν οι διαγώνιές του.

το οποίο (σελίς 26 του πρωτοτύποθ ή σελίς 53 διαδικτυακά) εφαρμόζεται και σε μη κυρτά εξάγωνα. Σε αυτό το σημείο, στα μη κυρτά δηλαδή, χρειάζεται προσοχή. Παρακάτω δίνω αντιπαράδειγμα στον ισχυρισμό αυτό και επίσης εντοπίζω σε πιο ακριβώς βήμα της δοθείσας απόδειξης υπάρχει το σφάλμα.

Η κατασκευή που δίνω είναι σε δύο βήματα.

Κοιτάμε πρώτα το σχήμα αριστερά. Σε έναν κύκλο παίρνουμε τρία σημεία με . Φέρνουμε την Από τα και φέρνω δύο χορδές και έστω ότι τέμνονται στο . Φέρνω την μέχρι να τμήσει τον κύκλο στο .

Έχουμε τώρα ένα κυρτό εξάγωνο (με αυτή την σειρά, την οποία άλλωστε αρίθμησα στο σχήμα) του οποίου οι κύριες διαγώνιες συγκλίνουν, εκ κατασκευής. Από το ευθύ του παραπάνω θεωρήματος ισχύει



Βέβαια έχουμε λάβει όποτε η προηγούμενη σχέση, για το συγκεκριμένο εξάγωνο, απλοποιείται στην .

Κοιτάμε τώρα το σχήμα δεξιά. Έχει τα ίδια σημεία με το προηγούμενο μόνο που θα αντικαταστήσουμε το με κάποιο άλλο που θα το ονομάσουμε . Συγκεκριμένα, το είναι το δεύτερο σημείο τομής της μεσοκαθέτου της με τον κύκλο. Το πρώτο είναι το . Ισχύει λοιπόν . Λόγω αυτής μπορούμε να πάμε στην και να βάλουμε τους όρους ως παράγοντες, έναν στον αριθμητή και έναν στον παρονομαστή, χωρίς να αλλάξει η τιμή της παράστασης. Θα γίνει



(είναι σαν την αρχική αλλά με στην θέση του ).

Κοιτάμε τώρα το εξάγωνο (με αυτή την σειρά, την οποία άλλωστε αρίθμησα στο σχήμα). Η προηγούμενη σχέση μας λέει ότι ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος. Πλην όμως οι κύριες διαγώνιες ΔΕΝ συντρέχουν. Και αυτό διότι η δεν διέρχεται από το (αλλιώς θα ταυτιζόταν με αυτήν, και άρα θα περνούσε από το , που δεν ισχύει).

Με άλλα λόγια δεν ισχύει το συμπέρασμα του ισχυρισμού.

Το λάθος στον συλλογισμό στην παραπομπή είναι στην σελίδα 26 (διαδικτυακά σελίς 55) προς το τέλος όπου από την ισότητα βγαίνει το συμπέρασμα . Αυτό θα ήταν σωστό αν τα ήσαν από την ίδια πλευρά του αλλά (όπως στο αντιπαράδειγμα που κατασκεύασα) θα μπορούσε να είναι σε διαφορετικές πλευρές. Συνεπώς η περίπτωση μη κυρτών εξαγώνων θέλει βελτίωση.

Κλείνω για την ώρα. Σε επόμενό μου ποστ θα δώσω παραπομπή όπου το θεώρημα ήταν γνωστό τουλάχιστον έναν αιώνα πιο νωρίς, όχι το 1997 που αναφέρεται στην παραπομπή στο προηγούμενο ποστ, και εμφανίστηκε σε βιβλία Γεωμετρίας ευρύτατης κυκλοφορίας.

[Mihalis_Lambrou]

.
Συνέχεια του προηγούμενου ποστ, όπου παρέθεσα ένα αντιπαράδειγμα για την μη κυρτή περίπτωση. Όπως υποσχέθηκα καταγράφω ιστορικά σχόλια για το θεώρημα που συζητάμε σχετικά με συγκλίνουσες διαγωνίους εγγεγραμμένου εξαγώνου.

Το θεώρημα είναι γνωστό και υπάρχει τουλάχιστον από το 1929 (στην πραγματικότητα πολύ νωρίτερα) καθώς εμφανίζεται στην πιο πολυδιαβασμένη αγγλική προχωρημένη Γεωμετρία του Johnson, Modern Geometry, παράγραφος 228, σελίς 151. Μπορεί να το βρει κανείς στο διαδίκτυο εδώ.

Δυστυχώς στην παραπομπή αυτή είναι μόνο για ανάγνωση επί της οθόνης καθώς δεν επιτρέπεται το κατέβασμά του στον υπολογιστή (επιτρέπεται μόνο στην Αμερική για λόγους copyright). Το ίδιο βιβλίο, χωρίς καμία αλλαγή στο περιεχόμενο, επανεκδόθηκε το 1960 από τις εκδόσεις Dover, με αλλαγή τίτλου. Τώρα έγινε Johnson, Advanced Euclidean Geometry. Από τότε διαβάστηκε ακόμη ευρύτερα καθώς οι εκδόσεις Dover είναι πάντα σε πολύ προσιτές τιμές και τα πανέμορφα βιβλία τους τα βρίσκει κανείς παντού. Παρακάτω, για διευκόλυνση του αναγνώστη, παραθέτω το σχετικό απόσπασμα από την έκδοση του 1960, παράγραφος 228 σελίς 151, που είναι ίδιο με της έκδοσης του 1929, όπου φαίνεται το Θεώρημα που συζητάμε.

Όπως λέει ο συγγραφέας στην εισαγωγή του, το βιβλίο του περιέχει κυρίως θεωρήματα της εποχής 1850-1900. Πράγματι, το έχω δεν πάμπολλες φορές σε βιβλία Γεωμετρίας αυτής της εποχής καθώς και σε άρθρα στα τότε Γαλλικά περιοδικά Μαθηματικών, που ήταν η χρυσή εποχή της σύγχρονης Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Δεν ξέρω πότε ακριβώς πρωτοεμφανίζεται το θεώρημα γιατί δεν είμαι δίπλα σε μεγάλη βιβλιοθήκη για να το ερευνήσω. Πάντως το βλέπω στην συλλογή μου σε βιβλίο του 1891. Είναι διατυπωμένο σε ισοδύναμη μορφή στο Μ’Clelland (καμμιά φορά τον βλέπουμε γραμμένο ως McClelland), A treatise on the Geometry of the circle, σελίς 117. Εκεί το διατυπώνει με αναρμονικούς λόγους.

Στα πάμπολλα βιβλία που έχω δει το θεώρημα, παλιά ή νεότερα, είναι ως εφαρμογή του Θεωρήματος Ceva. Ακριβέστερα το Θεώρημα είναι μικρή, σχεδόν τετριμμένη, επαναδιατύπωση της Tριγωνομετρικής μορφής του Θεωρήματoς Ceva, γι’ αυτό συχνά το βλέπουμε στα βιβλία ως απλή άσκηση. Ας το δούμε:

Σε ένα τρίγωνο έστω ότι τρεις συγκλίνουσες σεβιανές τους επανατέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα (βλέπε το σχήμα παρακάτω). Τότε ισχύει

.

H σχεδόν μονολεκτική του απόδειξη είναι από το γεγονός ότι από το Τριγωνομετρικό Ceva έχουμε

.

Αλλά είναι και όμοια τα υπόλοιπα. Αντικαθιστώντας αυτά στο αριστερό μέλος της προκύπτει το ζητούμενο.

Σε ΟΛΑ τα βιβλία που περιέχουν το εν λόγω Θεώρημα, ΠΑΝΤΑ ακολουθείται από πολλές εφαρμογές σύγκλισης σεβιανών όπως υψών, διχοτόμων συμμετροδιαμέσων, Gergonne και λοιπά και λοιπά, ήδη από ΠΡΙΝ το 1900. Σίγουρα ούτε το Θεώρημα ούτε οι ενιαίες εφαρμογές του δεν είναι του 1929 αλλά πολύ νωρίτερα, πόσο μάλλον να πρωτοεμφανίζονται επί των ημερών μας.
.

[ΝΙΚΟΣ]

Το Αντιπαράδειγμα.

Φρονώ ότι το αντιπαράδειγμα δε χρειαζόταν να γίνει, γιατί η παρατήρηση 2 που ακολουθεί το Θεώρημα, αντιμετωπίζει πλήρως και ακριβώς το θέμα για το οποίο έγινε (σχήμα 2 δεξιά μορφή μη κυρτού εξάγωνου το οποίο έχει ακριβώς την ίδια μορφή με εκείνο του αντιπαραδείγματος. Τούτο διαπιστώνουμε ευκολα με αντιπαραβολή).

Πιστεύω ότι το υπό συζήτηση Θεώρημα γενικά, έχει γραφεί σωστά με όλους τους τύπους και δεν απαιτείται βελτίωσή του.
Συγκεκριμένα:
---Η διατύπωσή του γίνεται στη γενική του μορφή και μάλιστα με το αντίστροφό του.
---Ακολουθεί η απόδειξή του παράλληλα και για ορισμένα μη κυρτά εξάγωνα.
---Τελειώνει με την διερεύνηση, η οποία γίνεται στην παρατήρηση 2 και με δύο αντιπαραδείγματα.

Θα μπορούσαμε βέβαια να είμαστε πολύ πιο λεπτομερείς, αν ο χώρος που διαθέτει ένα περιοδικό δεν ήταν περιορισμένος.
Για παράδειγμα:
---Να είχαμε επισυνάψει σχήμα με τις 24 μορφές εξαγώνων (σελίδα βιβλίου 17, ψηφιακή 53), εδώ:
https://drive.google.com/file/d/1dmziV- ... Q8tGP/view
---Να είχαμε επισυνάψει σχήμα με τις 12 μορφές εγγράψημων μορφών εξαγώνων (σελίδα βιβλίου 974, ψηφιακή 164), εδώ:
https://drive.google.com/file/d/1CJc4ar ... ibShe/view
---Να είχαμε επισυνάψει σχήμα με όλες τις μορφές εξαγώνων των οποίων οι διαγώνιες δε είναι δυνατό να συνκλίνουν.

Το πιο σημαντικό όμως απ’ όλα, νομίζω ότι είναι το αντίστροφό του, που διατυπώνεται, αποδεικνύεται και το οποίο μας επιτρέπει να το χρησιμοποιούμε σε εφαρμογές του Θεωρήματος. Πιστεύω δε ότι τούτο εμφανίζεται μόνο εδώ.

Το Θεώρημα, μου προέκυψε για πρώτη φορά πολύ προ του 1993 κατόπιν έρευνας (σελίδα βιβλίου 1105, ψηφιακή 295, πρόταση 33Γ), εδώ:
https://drive.google.com/file/d/1CJc4ar ... ibShe/view
Το Θεώρημα αυτό είναι φανερό ότι δε μου ήταν γνωστό τότε, αλλά ούτε όταν δημιουργούσα το σχετικό Άρθρο, Τούτο το συνάντησα μετά από μερικά χρόνια σε κάποιο Ελληνικό βιβλίο (Αγγλικά δε γνωρίζω) σαν άσκηση, χωρίς αντίστροφο το οποίο και δίνει στο Θεώρημα ουσιαστική αξία.

Συμπέρασμα
Συνεπώς, και η περίπτωση των μη κυρτών εξαγώνων δεν θέλει βελτίωση.


Νίκος Κυριαζής
ΥΓ: Θα αναφερθώ ειδικά και στο Θεώρημα αλλά και στο Άρθρο.

[Mihalis_Lambrou]

.
Δεν έχεις δίκιο, αλλά ας πάρουμε τα πράγματα ένα προς ένα για να τα ξεκαθαρίσουμε.
.

Πιστεύω ότι το υπό συζήτηση Θεώρημα γενικά, έχει γραφεί σωστά με όλους τους τύπους και δεν απαιτείται βελτίωσή του.
Συγκεκριμένα:
---Η διατύπωσή του γίνεται στη γενική του μορφή και μάλιστα με το αντίστροφό του.
---Ακολουθεί η απόδειξή του παράλληλα και για ορισμένα μη κυρτά εξάγωνα.

Το προς απόδειξη Θεώρημα αναφέρει, αντιγράφω όπως ήδη έκανα στο ποστ #42:

Σε κάθε εγγεγραμμένο εξάπλευρο, το γινόμενο των τριών λόγων των μηκών των διαδοχικών του πλευρών, είναι ίσο με τη μονάδα, αν και μόνο αν συγκλίνουν οι διαγώνιές του.

Με άλλα λόγια έχουμε μία υπόθεση (μπλε γράμματα) σχετικά με κάποια γινόμενα και ένα συμπέρασμα (πράσινα γράμματα) σχετικά με σύγκλιση διαγωνίων. Το Θεώρημα λέει . Αυτό σημαίνει ότι οι είναι ισοδύναμες, δηλαδή από την υπόθεση έπεται η και από την έπεται η . Δηλαδή, ειδικά, σημαίνει ότι από την πάντα έπεται η , όχι υπό προϋποθέσεις. Αν κάποια αντίστροφη κατεύθυνση ισχύει υπό προϋποθέσεις τότε ΕΞ ΟΡΙΣΜΟΥ, de facto, δεν είναι αντιστρέψιμη η συνεπαγωγή. Και στο σχόλιό σου παραπάνω (το σημείο που σημείωσα με κόκκινο) επιβεβαιώνεις ότι το αντίστροφο ισχύει για ορισμένα εξάγωνα. Τελειώσαμε. Το αντίστροφο δεν ισχύει, παρά μόνο κάποιες φορές. Αυτό ισχυρίζομαι τόσην ώρα.
.

Το πιο σημαντικό όμως απ’ όλα, νομίζω ότι είναι το αντίστροφό του, που διατυπώνεται, αποδεικνύεται και το οποίο μας επιτρέπει να το χρησιμοποιούμε σε εφαρμογές του Θεωρήματος. Πιστεύω δε ότι τούτο εμφανίζεται μόνο εδώ.

.
Λάθος. Ήδη τεκμηρίωσα τα περί αντιστρόφου, αλλά πάμε για ένα ακόμη σχόλιο. Είναι αυτό που γράφει προφητικά ο Johnson το 1929 στην Γεωμετρία του. Το παρέθεσα ήδη αλλά το ξαναγράφω αυτή την φορά με μετάφραση για να αρθούν οι αμφιβολίες. Λέει λοιπόν ο Johnson
.

eksagono apo Geom Johnson.png (158.03 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

.
που μεταφράζεται

… το αντίστροφο αυτού του Θεωρήματος δεν αληθεύει, και το θεώρημα δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί, όπως το έχουν χρησιμοποιήσει ορισμένοι γεωμέτρες, για να αποδείξουν την σύγκλιση ευθειών.

Νομίζω ότι τα σχόλια περιττεύουν. Τα είπε όλα ο Johnson το 1929, κάνοντας κριτική σε γεωμέτρες που το χρησιμοποιούσαν για την (ελλειπή) απόδειξη σύγκλισης ευθειών. Παραμπιπτώντος, επίσης τεκμαίρεται ότι το θεώρημα ήταν ήδη γνωστό από παλαιότερα του 1929 (αφού το χρησιμοποιούσαν κάποιοι).

.

Το Θεώρημα, μου προέκυψε για πρώτη φορά πολύ προ του 1993 κατόπιν έρευνας

.
Ποιο 1993 ή εκεί γύρω; Εδώ ο Johnson και πολλοί άλλοι το γνωρίζουν 70 χρόνια νωρίτερα. Και μάλιστα το θεώρημα ήδη υπάρχει σε ισοδύναμη μορφή από πολύ νωρίτερα, τουλάχιστον από το 1803, στην Geometrie de position του Carnot.
.

Συμπέρασμα
Συνεπώς, και η περίπτωση των μη κυρτών εξαγώνων δεν θέλει βελτίωση.

.
Λάθος. Στο ποστ #42 έδωσα παράδειγμα μη κυρτού εξαγώνου το οποίο έχει το γινόμενο των τριών λόγων ίσο με 1, αλλά οι διαγώνιες δεν συγκλίνουν. Με άλλα λόγια η μη κυρτή περίπτωση θέλει βελτίωση.

Έχω κατασκευάσει και ένα απλούστερο αντιπαράδειγμα, που βασίζεται σε άλλη ιδέα. Θα το αναρτήσω όταν με το καλό σχεδιάσω το σχήμα.

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
ΑΡΘΡΟ 16. ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΑΞΙΟΛΟΓΟΤΕΡΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ ΤΗΣ.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 16, με τίτλο: «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙΑΞΙΟΛΟΓΟΤΕΡΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ ΤΗΣ».

Υπογραμμίζω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολλές και Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στο «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΑΞΙΟΛΟΓΟΤΕΡΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ ΤΗΣ», στον αύξ. Αρ.3.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια κάνετε κλικ περιεχόμενα, κλίκ στη «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΑΞΙΟΛΟΓΟΤΕΡΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ ΤΗΣ», στον αύξ. Αρ.3 .

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html .

[Mihalis_Lambrou]

Στο ποστ #42 έδωσα παράδειγμα μη κυρτού εξαγώνου το οποίο έχει το γινόμενο των τριών λόγων ίσο με 1, αλλά οι διαγώνιες δεν συγκλίνουν. Με άλλα λόγια η μη κυρτή περίπτωση θέλει βελτίωση.

Έχω κατασκευάσει και ένα απλούστερο αντιπαράδειγμα, που βασίζεται σε άλλη ιδέα. Θα το αναρτήσω όταν με το καλό σχεδιάσω το σχήμα.

.
Παραθέτω το απλό παράδειγμα που υποσχέθηκα (μη κυρτού) εγγεγραμμένου εξαγώνου για το οποίο ισχύει



αλλά οι κύριες διαγώνιες του (κόκκινες στο σχήμα) δεν συγκλίνουν. Δηλαδή το ευθύ και το αντίστροφο της Πρότασης δεν είναι ισοδύναμα.

Για την κατασκευή, χωρίζουμε τον κύκλο σε ίσα μέρη, και τα συνδέουμε με την σειρά έως , όπως δείχνει το σχήμα. Παρατηρούμε ότι , οπότε οι λόγοι στην είναι ίσοι με , εδώ



και άρα το γινόμενό τους είναι επίσης ίσο με . Αυτό ολοκληρώνει το παράδειγμα.

Συμπληρώνω ότι μπορούμε εύκολα να το χωρίσουμε σε δύο τρίγωνα που να επιβεβαιώνουν αυτό που γράφει ο Johnson στην Γεωμετρία του, το οποίο παράθεσα στο ποστ #45, για την μη αντιστρεψιμότητα της Πρότασης.
.

[ΝΙΚΟΣ]

.
Δεν έχεις δίκιο, αλλά ας πάρουμε τα πράγματα ένα προς ένα για να τα ξεκαθαρίσουμε.
.

Πιστεύω ότι το υπό συζήτηση Θεώρημα γενικά, έχει γραφεί σωστά με όλους τους τύπους και δεν απαιτείται βελτίωσή του.
Συγκεκριμένα:
---Η διατύπωσή του γίνεται στη γενική του μορφή και μάλιστα με το αντίστροφό του.
---Ακολουθεί η απόδειξή του παράλληλα και για ορισμένα μη κυρτά εξάγωνα.

Το προς απόδειξη Θεώρημα αναφέρει, αντιγράφω όπως ήδη έκανα στο ποστ #42:

Σε κάθε εγγεγραμμένο εξάπλευρο, το γινόμενο των τριών λόγων των μηκών των διαδοχικών του πλευρών, είναι ίσο με τη μονάδα, αν και μόνο αν συγκλίνουν οι διαγώνιές του.

Με άλλα λόγια έχουμε μία υπόθεση (μπλε γράμματα) σχετικά με κάποια γινόμενα και ένα συμπέρασμα (πράσινα γράμματα) σχετικά με σύγκλιση διαγωνίων. Το Θεώρημα λέει . Αυτό σημαίνει ότι οι είναι ισοδύναμες, δηλαδή από την υπόθεση έπεται η και από την έπεται η . Δηλαδή, ειδικά, σημαίνει ότι από την πάντα έπεται η , όχι υπό προϋποθέσεις. Αν κάποια αντίστροφη κατεύθυνση ισχύει υπό προϋποθέσεις τότε ΕΞ ΟΡΙΣΜΟΥ, de facto, δεν είναι αντιστρέψιμη η συνεπαγωγή. Και στο σχόλιό σου παραπάνω (το σημείο που σημείωσα με κόκκινο) επιβεβαιώνεις ότι το αντίστροφο ισχύει για ορισμένα εξάγωνα. Τελειώσαμε. Το αντίστροφο δεν ισχύει, παρά μόνο κάποιες φορές. Αυτό ισχυρίζομαι τόσην ώρα.
.

Το πιο σημαντικό όμως απ’ όλα, νομίζω ότι είναι το αντίστροφό του, που διατυπώνεται, αποδεικνύεται και το οποίο μας επιτρέπει να το χρησιμοποιούμε σε εφαρμογές του Θεωρήματος. Πιστεύω δε ότι τούτο εμφανίζεται μόνο εδώ.

.
Λάθος. Ήδη τεκμηρίωσα τα περί αντιστρόφου, αλλά πάμε για ένα ακόμη σχόλιο. Είναι αυτό που γράφει προφητικά ο Johnson το 1929 στην Γεωμετρία του. Το παρέθεσα ήδη αλλά το ξαναγράφω αυτή την φορά με μετάφραση για να αρθούν οι αμφιβολίες. Λέει λοιπόν ο Johnson
.
eksagono apo Geom Johnson.png
.
που μεταφράζεται

… το αντίστροφο αυτού του Θεωρήματος δεν αληθεύει, και το θεώρημα δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί, όπως το έχουν χρησιμοποιήσει ορισμένοι γεωμέτρες, για να αποδείξουν την σύγκλιση ευθειών.

Νομίζω ότι τα σχόλια περιττεύουν. Τα είπε όλα ο Johnson το 1929, κάνοντας κριτική σε γεωμέτρες που το χρησιμοποιούσαν για την (ελλειπή) απόδειξη σύγκλισης ευθειών. Παραμπιπτώντος, επίσης τεκμαίρεται ότι το θεώρημα ήταν ήδη γνωστό από παλαιότερα του 1929 (αφού το χρησιμοποιούσαν κάποιοι).

.

Το Θεώρημα, μου προέκυψε για πρώτη φορά πολύ προ του 1993 κατόπιν έρευνας

.
Ποιο 1993 ή εκεί γύρω; Εδώ ο Johnson και πολλοί άλλοι το γνωρίζουν 70 χρόνια νωρίτερα. Και μάλιστα το θεώρημα ήδη υπάρχει σε ισοδύναμη μορφή από πολύ νωρίτερα, τουλάχιστον από το 1803, στην Geometrie de position του Carnot.
.

Συμπέρασμα
Συνεπώς, και η περίπτωση των μη κυρτών εξαγώνων δεν θέλει βελτίωση.

.
Λάθος. Στο ποστ #42 έδωσα παράδειγμα μη κυρτού εξαγώνου το οποίο έχει το γινόμενο των τριών λόγων ίσο με 1, αλλά οι διαγώνιες δεν συγκλίνουν. Με άλλα λόγια η μη κυρτή περίπτωση θέλει βελτίωση.

Έχω κατασκευάσει και ένα απλούστερο αντιπαράδειγμα, που βασίζεται σε άλλη ιδέα. Θα το αναρτήσω όταν με το καλό σχεδιάσω το σχήμα.

ΔΕΝ ΑΠΑΝΤΩ[

Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 17. ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ.
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 17, με τίτλο: «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ».

Υπογραμμίζω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολλές και Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στο «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ», στον αύξ. Αρ.5.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια κάνετε κλικ περιεχόμενα, κλίκ στη «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΑΓΕΣ», στον αύξ. Αρ.5 .

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html .

[ΝΙΚΟΣ]

1. Αγαπητοί φίλοι, σε κάθε μου ανάρτησή εδώ, με την τελευταία μου παράγραφο, παραπέμπω στο ποστ 1, ως εξής:
«Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις».

2. Στο ποστ 1, μεταξύ άλλων, αναφέρονται και τα ακόλουθα:
«Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας.
α. Σ’ αυτή εδώ την σελίδα, θα σας παρουσιάζω στο εξής, σημαντικά νέα, κατά την γνώμη μου, Άρθρα Γεωμετρίας, τα οποία είχα δημιουργήσει παλιότερα και τα είχα στείλει σε περιοδικά για δημοσίευση, όμως τα περιοδικά διέκοψαν την έκδοσή τους και δε δημοσιεύτηκαν όλα, οπότε θα εμφανίζονται εδώ για πρώτη φορά (Πρωτοεμφανιζόμενα).
β. Τα άρθρα αυτά περιέχουν συνήθως νέες Προτάσεις, νέα Προβλήματα. Νέους Γεωμετρικούς Τόπους, Επεκτάσεις και Γενικεύσεις τούτων, συνήθως με τις αποδείξεις-λύσεις τους και σε λίγες περιπτώσεις χωρίς αποδείξεις-λύσεις. Ακόμα είναι δυνατό να περιέχουν και Νέες αποδείξεις-λύσεις γνωστών Προτάσεων-Προβλημάτων- γ.τ.
Όλα αυτά που ανέρχονται σε 4.500 περίπου, είχα επινοήσει κατά το παρελθόν και τα οποία (εκτός μερικών) δεν έχω συναντήσει μέχρι τώρα στη γνωστή μας βιβλιογραφία (πρωτοεμφανιζόμενα).
γ. Στόχος μου είναι απλά και μόνο να δημοσιεύσω στο mathematica όσο το δυνατό περισσότερα άρθρα μπορέσω και όχι τόσο η συμμετοχή. Παρόλα αυτά οι ενδιαφερόμενοι μελετητές τούτων είναι δυνατό να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις-λύσεις και ακόμη να κάνουν τις δικές τους επεκτάσεις-γενικεύσεις και τα δικά τους σχόλια. Δικές μου αποδείξεις-λύσεις για εκείνες που δίνονται χωρίς αποδείξεις-λύσεις, θα ακολουθούν (σε μερικές περιπτώσεις), σε εύλογο χρονικό διάστημα.
δ. Γι’ αυτές τις νέες Προτάσεις-Προβλήματα, κτλ, θα ήθελα να μου κάνετε γνωστό, αν τα έχετε συναντήσει (συγκεκριμένα), που και πότε, και να κάνετε την σχετική καλοπροαίρετη κριτική σας».

3. Επειδή παρατήρησα ότι τα παραπάνω δε λαμβάνονται υπόψη, θα ήθελα να παρακαλέσω και εδώ να λαμβάνονται πάντοτε υπόψη, προς αποφυγή παρεξηγήσεων.

4. Τα παραπάνω αναφερόμενα πιστεύω ότι δίνουν απαντήσεις σε διάφορους υπαινιγμούς.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 18. ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ - ΣΥΓΧΩΝΕΣΗ ΤΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ STEINER, VECTEN, BROCARD, KARIYA και άλλων.
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 18, με τίτλο: «ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ - ΣΥΓΧΩΝΕΣΗ ΤΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ STEINER, VECTEN, BROCARD, KARIYA και άλλων».

Υπογραμμίζω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολλές και Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στο «ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ - ΣΥΓΧΩΝΕΣΗ ΤΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ STEINER, VECTEN, BROCARD, KARIYA και άλλων», στον αύξ. Αρ.17.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια κάνετε κλικ περιεχόμενα, κλίκ στη «ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ - ΣΥΓΧΩΝΕΣΗ ΤΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ STEINER, VECTEN, BROCARD, KARIYA και άλλων», στον αύξ. Αρ.17 .

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 19.ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ.
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 19, με τίτλο: «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ».

Υπογραμμίζω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολλές και Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στο «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ», στον αύξ. Αρ.6.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/14-9Xir ... c5IwR/view
και στη συνέχεια σελίδα 88 «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ» .

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 20.ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΠΟΛΛΈΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 20, με τίτλο: «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΠΟΛΛΈΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ».

Υπογραμμίζω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολλές και Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στο «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΠΟΛΛΈΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ», στον αύξ. Αρ.11.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια περιεχόμενα «ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΠΟΛΛΈΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ», στον αύξ. Αρ.11.

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 21. Ένα σημαντικό νέο Θεώρημα για τριάδα ομοίων τριγώνων και μερικές από τις εφαρμογές του.
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 21, με τίτλο: «Ένα σημαντικό νέο Θεώρημα για τριάδα ομοίων τριγώνων και μερικές από τις εφαρμογές του».

Υπογραμμίζω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολλές και Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στο «Ένα σημαντικό νέο Θεώρημα για τριάδα ομοίων τριγώνων και μερικές από τις εφαρμογές του», στον αύξ. Αρ.16.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια περιεχόμενα «Ένα σημαντικό νέο Θεώρημα για τριάδα ομοίων τριγώνων και μερικές από τις εφαρμογές του», στον αύξ. Αρ.16.

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 22.Χρυσά Γεωμετρικά Σχήματα.
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 22, με τίτλο: "Χρυσά Γεωμετρικά Σχήματα".

Υπογραμμίζω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολλές και Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στα «Χρυσά Γεωμετρικά Σχήματα», στον αύξ. Αρ.18.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια περιεχόμενα «Χρυσά Γεωμετρικά Σχήματα.», στον αύξ. Αρ.18.

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 23. ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ κ. Ν. ΙΩΣΙΦΙΔΗ ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ.
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 23, με τίτλο: " ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ κ. Ν. ΙΩΣΙΦΙΔΗ ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ".

Υπογραμμίζω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολλές και Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στα « ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ κ. Ν. ΙΩΣΙΦΙΔΗ ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ.», στον αύξ. Αρ. 29.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1g-ws-2 ... ETY9r/view

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 24. ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΓΩΝΑ .
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 24, με τίτλο: " ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΓΩΝΑ".

Υπογραμμίζω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολλές και Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στα « ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΓΩΝΑ», στον αύξ. Αρ. 9.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
περιεχόμενα, κλικ στα « ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΓΩΝΑ», στον αύξ. Αρ. 9.

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 25. Η άσκηση – πρόκληση του ισοπλεύρου τριγώνου.
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 25, με τίτλο: " Η άσκηση – πρόκληση του ισοπλεύρου τριγώνου.".
Τη δημοσίευση αυτή αναρτώ, γιατί στη συνέχεια θα ακολουθήσει η ανάρτηση μερικών άρθρων μου, σχετικών με την άσκηση αυτή.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στο «Η άσκηση – πρόκληση του ισοπλεύρου τριγώνου. », στον αύξ. Αρ. 22.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/166RqXc ... QJ_7p/view

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 26. Επεκτάσεις – Γενικεύσεις της Πρότασης του Ισόπλευρου Τριγώνου (Βλέπε παραπάνω ποστ 58).
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 26, με τίτλο: " Επεκτάσεις – Γενικεύσεις της Πρότασης του Ισόπλευρου Τριγώνου ".

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στο «Επεκτάσεις – Γενικεύσεις της Πρότασης του Ισόπλευρου Τριγώνου », στον αύξ. Αρ. 26.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/19VBrbG ... DBqAG/view

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΑ ΑΡΘΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΑΡΘΡΟ 27. Ειδικές Περιπτώσεις της Πρότασης του "Ισόπλευρου Τριγώνου"(Βλέπε παραπάνω ποστ 58 και 59).
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,προκειμένου να είμαι συνεπής με τα προηγούμενα (ποστ 1), συνεχίζω την ανάρτηση με το Άρθρο μου 27, με τίτλο : Ειδικές Περιπτώσεις της Πρότασης του "Ισόπλευρου Τριγώνου" .

Υπογραμμίζω ότι το άρθρο αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς (με το άρθρο αυτό) δημοσιεύονται "Πολλές και Πολύ Χρήσιμες Προτάσεις, οι οποίες θα μας είναι πολύτιμες αργότερα.

Το άρθρο αυτό θα βρείτε, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
κλικ στα Άρθρα Γεωμετρίας. Τόμος Ι,
περιεχόμενα, κλικ στις Ειδικές Περιπτώσεις της Πρότασης του "Ισόπλευρου Τριγώνου", στον αύξ. Αρ. 28.

Ή, πιο εύκολα, αν κάνετε κλικ στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
περιεχόμενα, κλικ στις Ειδικές Περιπτώσεις της Πρότασης του "Ισόπλευρου Τριγώνου", στον αύξ. Αρ.28 .

Αγαπητοί φίλοι, και για το παραπάνω Άρθρο, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html