Ωραία προβολή χωρίς λόγο

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 104.png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές

Οι πλευρές του τριγώνου ABC

είναι μονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι . Στις πλευρές AB , AC

, υπάρχουν σημεία S , P

αντίστοιχα , ώστε : BS=CP=BC

. Η διχοτόμος

, διαιρεί την βάση

, σε λόγο : $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{2}{3}$ και το

τμήμα

, σε λόγο : $\dfrac{ST}{TP}=\dfrac{1}{4}$ . Υπολογίστε την προβολή

της πλευράς

στην ευθεία

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 23, 2023 6:20 am
Μεγάλες κατασκευές 104.pngΟι πλευρές του τριγώνου είναι μονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι . Στις πλευρές , υπάρχουν σημεία

αντίστοιχα , ώστε : . Η διχοτόμος , διαιρεί την βάση , σε λόγο : $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{2}{3}$ και το

τμήμα , σε λόγο : $\dfrac{ST}{TP}=\dfrac{1}{4}$ . Υπολογίστε την προβολή της πλευράς στην ευθεία .

Είναι : $b = 3k\,\,,\,\,c = 2k\,\,,\,\,\,k \in \left\{ {1\,,2\,,\left. 3 \right\}} \right.$ .

Επειδή $\displaystyle \dfrac{{AS}}{{AP}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{{c - a}}{{b - a}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{{2k - a}}{{3k - a}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow a = \dfrac{{5k}}{3}$ , οπότε αναγκαστικά : $\boxed{k = 3}$ .

: Ωραία προβολή χωρίς λόγο.png (16.29 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

Έτσι : $a = 5\,\,,\,\,b = 9\,\,,\,\,c = 6$ και από το Θ. επέκτασης του Πυθαγόρα ,

${9^2} = {5^2} + {6^2} + 10BD \Rightarrow \boxed{BD = 2}$

Αυτή για την ώρα. Ο τίτλος βέβαια "μιλάει" για λύση χωρίς λόγο .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 23, 2023 6:20 am
Μεγάλες κατασκευές 104.pngΟι πλευρές του τριγώνου είναι μονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι . Στις πλευρές , υπάρχουν σημεία

αντίστοιχα , ώστε : . Η διχοτόμος , διαιρεί την βάση , σε λόγο : $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{2}{3}$ και το

τμήμα , σε λόγο : $\dfrac{ST}{TP}=\dfrac{1}{4}$ . Υπολογίστε την προβολή της πλευράς στην ευθεία .

Αν

τότε

: Ωραία προβολή.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} c = a + x \hfill \\ b = a + 4x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{a + x}}{{a + 4x}} = \frac{c}{b} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow a = 5x,b = 9x,c = 6x.$

Επειδή όμως οι a, b, c

είναι μονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι, θα είναι $\boxed{(a, b, c)=(5, 9, 6)}$

Με τον τύπο του Ήρωνα βρίσκω $\displaystyle (ABC) = 10\sqrt 2 = \frac{{a \cdot AD}}{2} \Leftrightarrow AD = 4\sqrt 2$ και στη συνέχεια με Π.Θ, $\boxed{BD=2}$

Ωραία προβολή χωρίς λόγο

Ωραία προβολή χωρίς λόγο

Re: Ωραία προβολή χωρίς λόγο

Re: Ωραία προβολή χωρίς λόγο

Μέλη σε σύνδεση