Ενδιαφέρον σημείο

KARKAR · #1

: Ενδιαφέρον σημείο.png (14.93 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

$\bigstar$ Εντοπίστε σημείο

του μεγάλου ημικυκλίου , τέτοιο ώστε αν

είναι η τομή του

με το μικρό ημικύκλιο , να προκύπτει η ισότητα : ST=SO

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 21, 2023 1:42 pm
$\bigstar$ Εντοπίστε σημείο του μεγάλου ημικυκλίου , τέτοιο ώστε αν είναι η τομή του

με το μικρό ημικύκλιο , να προκύπτει η ισότητα : .

Καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ενδιαφέρον σημείο 1.png (19.76 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle{AOS}$ εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Stweart. Άρα:

$\displaystyle{(KO)\cdot (AS)^2+(AK) \cdot (OS)^2= (AK) \cdot (KO) \cdot (AO) + (AO) \cdot (SK)^2 }$

Δηλαδή:

$\displaystyle{2\cdot 5^2+3 \cdot m^2= 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7^2}$

Άρα:

$\displaystyle{m=5 \cdot \sqrt{3} \ \ (1) }$

Από την (1) το ζητούμενο σημείο $\displaystyle{S}$ προκύπτει από την τομή του κύκλου

$\displaystyle{C_2(A,5 \cdot \sqrt{3}) }$ με τον αρχικό $\displaystyle{C_1(O,5)}$ .

Προφανώς οι δυο αυτοί κύκλοι τέμνονται.

Κώστας Δόρτσιος

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 21, 2023 1:42 pm
Ενδιαφέρον σημείο.png $\bigstar$ Εντοπίστε σημείο του μεγάλου ημικυκλίου , τέτοιο ώστε αν είναι η τομή του

με το μικρό ημικύκλιο , να προκύπτει η ισότητα : .

: Ενδιαφέρον σημείο.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές

Επειδή

θα ισχύει : $\dfrac{{AT}}{{AS}} = \dfrac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 5}} = \dfrac{4}{{10}} = \dfrac{2}{5} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{10}}{3}}$ .

Ο κύκλος $\left( {A,\dfrac{{10}}{3}} \right)$ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

και η ημιευθεία

ακόμα το μεγάλο ημικύκλιο στο

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 21, 2023 1:42 pm
$\bigstar$ Εντοπίστε σημείο του μεγάλου ημικυκλίου , τέτοιο ώστε αν είναι η τομή του

με το μικρό ημικύκλιο , να προκύπτει η ισότητα : .

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 21, 2023 11:35 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 21, 2023 1:42 pm
$\bigstar$ Εντοπίστε σημείο του μεγάλου ημικυκλίου , τέτοιο ώστε αν είναι η τομή του

με το μικρό ημικύκλιο , να προκύπτει η ισότητα : .
Καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Στο τρίγωνο $\displaystyle{AOS}$ εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Stweart. Άρα:

$\displaystyle{(KO)\cdot (AS)^2+(AK) \cdot (OS)^2= (AK) \cdot (KO) \cdot (AO) + (AO) \cdot (SK)^2 }$

Δηλαδή:

$\displaystyle{2\cdot 5^2+3 \cdot m^2= 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7^2}$

Άρα:

$\displaystyle{m=5 \cdot \sqrt{3} \ \ (1) }$

Από την (1) το ζητούμενο σημείο $\displaystyle{S}$ προκύπτει από την τομή του κύκλου

$\displaystyle{C_2(A,5 \cdot \sqrt{3}) }$ με τον αρχικό $\displaystyle{C_1(O,5)}$ .

Προφανώς οι δυο αυτοί κύκλοι τέμνονται.

Κώστας Δόρτσιος

Και πάλι καλησπέρα...

Στη βιασύνη μου και στις αϋπνίες μου έκανα μια αβλεψία που θα τη δείτε
αν δείτε το σχήμα που έκανα με το σχήμα του θεματοδότη Θανάση!
Βλέποντας τη λύση του Νίκου κατάλαβα το λάθος μου και
βάζω μια λύση με σωστή πλέον ανάγνωση!

Βέβαια να πω και τούτο: από την αβλεψία μου προέκυψε ένα ακόμα θέμα
που στέκεται ολοκληρωμένα αν μετασχηματιστεί η εκφώνηση έτσι όπως εγώ
την θεώρησα!

Εργαζόμαστε λοιπόν στο ακόλουθο σχήμα:

: Ενδιαφέρον σημείο 2.png (18.24 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το κύκλος $\displaystyle{C_2}$ είναι ομοιόθετος του κύκλου $\displaystyle{C_1}$ ως προς

κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο $\displaystyle{A}$ και λόγο $\displaystyle{l=\frac{5}{2} \ \ (1) }$

Έτσι κατά την ομοιοθεσία αυτή το σημείο $\displaystyle{S}$ είναι ομοιόθετο του σημείου $\displaystyle{T}$ .

Άρα:

$\displaystyle{ (AS)=l(AT) \Rightarrow (AT)+(TS)=l(AT) \Rightarrow (TS)=(l-1)(AT)}$

$\displaystyle{ \Rightarrow (AT)=\frac{(TS)}{l-1} \ \ (2) }$

Η (2) λόγω της (1) τελικά δίνει:

$\displaystyle{(AT)=\frac{10}{3} \ \ (3) }$

Έτσι η κατασκευή του σημείου $\displaystyle{T}$ είναι η τομή του ημικυκλίου με ακτίνα ίση με $\displaystyle{2}$ και του

κύκλου με κέντρο $\displaystyle{A}$ και ακτίνα την τιμή από την (3).

Κώστας Δόρτσιος

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 21, 2023 1:42 pm
Ενδιαφέρον σημείο.png $\bigstar$ Εντοπίστε σημείο του μεγάλου ημικυκλίου , τέτοιο ώστε αν είναι η τομή του

με το μικρό ημικύκλιο , να προκύπτει η ισότητα : .

Παρόμοιο με του Νίκου.

: Ενδιαφέρον σημείο.png (17.25 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

$\displaystyle KT||OS \Leftrightarrow \frac{{AT}}{5} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{AT=\frac{10}{3}}$ κλπ.

Ενδιαφέρον σημείο

Ενδιαφέρον σημείο

Re: Ενδιαφέρον σημείο

Re: Ενδιαφέρον σημείο

Re: Ενδιαφέρον σημείο

Re: Ενδιαφέρον σημείο

Μέλη σε σύνδεση