Λόγος και ισότητα

KARKAR · #1

: Λόγος και ισότητα.png (8.6 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές

Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r

, θεωρούμε την μεσοκάθετη ακτίνα

, επί της οποίας

βρίσκεται σημείο

, με $OS =\dfrac{r}{3}$ . Από το

διέρχεται η χορδή

και μια διαφορετική ευθεία

η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο

και τη διάμετρο στο σημείο

.

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SP}$ ... β) Επιλέξτε τη θέση του

, για την οποία : TS=SQ

.

orestisgotsis · #2

Περιττό

#3

(Χρησιμοποιώ το σχήμα του Ορέστη, για μια λύση χωρίς τριγωνομετρία)
Ονομάζουμε $\displaystyle{AS=x , SP=y}$ .

Από τα όμοια τρίγωνα $\displaystyle{APB , ASO}$ έχουμε: $\displaystyle{\frac{x+y}{PB}=\frac{r}{\frac{r}{3}}\Rightarrow PB=\frac{x+y}{3}}$ , (1)

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{APB}$ έχουμε: $\displaystyle{PB^2 +AP^2 =AB^2 \Rightarrow}$ (λόγω και της (1))

$\displaystyle{(\frac{x+y}{3})^2 +(x+y)^2 =4r^2 \Rightarrow x+y=\frac{3r\sqrt{10}}{5}}$ , (2)

Ισχύει όμως και: $\displaystyle{x.y=\frac{2r}{3} . (\frac{r}{3}+r)\Rightarrow xy=\frac{8r^2}{9}}$ , (3)

Από τις (2),(3) συμπεραίνουμε ότι τα $\displaystyle{x,y}$ είναι ρίζες της εξίσωσης: $\displaystyle{t^2 -\frac{3r\sqrt{10}}{5} t +\frac{8r^2}{9} =0}$

Επειδή είναι $\displaystyle{x>AO=r , y<OB=r}$ , (δηλαδή $\displaystyle{x<y}$ ) , συμπεραίνουμε ότι οι ρίζες της πιο πάνω εξίσωσης είναι:

$\displaystyle{x=\frac{r\sqrt{10}}{3} , y=\frac{4r\sqrt{10}}{15}}$ και άρα $\displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{5}{4}}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 30, 2023 7:32 pm
Λόγος και ισότητα.png Στο ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε την μεσοκάθετη ακτίνα , επί της οποίας

βρίσκεται σημείο , με $OS =\dfrac{r}{3}$ . Από το διέρχεται η χορδή και μια διαφορετική ευθεία

η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο και τη διάμετρο στο σημείο .

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SP}$ ... β) Επιλέξτε τη θέση του , για την οποία : .

α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο

$AOS,AS=\dfrac{r\sqrt{10}}{3},(1),$

Από τεμνόμενες χορδές

$AS,SP, AS.SP=r^{2}-\dfrac{r^{2}}{9}\Leftrightarrow AS.SP=\dfrac{8r^{2}}{9},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{AS}{SP}=\dfrac{5}{4}$

β) Για να προσδιορίσουμε το σημείο

,

εστω το παραλληλόγραμμο

$TIQO,OI=\dfrac{2r}{3},IQO,IQ^{2}=IO^{2}+OQ^{2},r^{2}=(\dfrac{2r}{3})^{2}+(r-x)^{2}\Leftrightarrow x=r\dfrac{3-\sqrt{5}}{3}$

όπου

x=QB,

Συνεπώς για να κατασκευάσουμε το σημείο

Προσδιορίζουμε το σημείο

και στη συνέχεια η ευθεία

τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 30, 2023 7:32 pm
Λόγος και ισότητα.png Στο ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε την μεσοκάθετη ακτίνα , επί της οποίας

βρίσκεται σημείο , με $OS =\dfrac{r}{3}$ . Από το διέρχεται η χορδή και μια διαφορετική ευθεία

η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο και τη διάμετρο στο σημείο .

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SP}$ ... β) Επιλέξτε τη θέση του , για την οποία : .

α) Από Π. Θ στο AOS

και από το "απαγορευμένο" θεώρημα τεμνόμενων χορδών, καταλήγω στο ζητούμενο λόγο, όπως και οι προηγούμενοι.

: Λόγος και ισότητα.png (13.52 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

β) Από το μέσο

του

φέρω παράλληλη στη διάμετρο που τέμνει το τόξο $\overset\frown{AN}$ στο ζητούμενο σημείο

Η απόδειξη φανερή, από την ισότητα των τριγώνων OSQ, MST.

Λόγος και ισότητα

Λόγος και ισότητα

Re: Λόγος και ισότητα

Re: Λόγος και ισότητα

Re: Λόγος και ισότητα

Re: Λόγος και ισότητα

Μέλη σε σύνδεση