Παράλληλες διχοτόμοι

[orestisgotsis]

Περιττό

[rek2]

Να μία λύση, που θέλει...ασπιρίνη!
Όλα τα επόμενα είναι τόξα ( όχι ευθύγραμμα τμήματα)

Αρκεί να δείξω

Λόγω των ίσων γωνιών φ και στην συνέχεια των ίσων γωνιών θ είναι ( έχω απλοποιήσει τα 1/2):





Αφαιρώ κατά μέλη, αναδιατάσσω τους όρους και έχω:





κ.λπ.

[Doloros]

Παράλληλες διχοτόμοι .png

Να δειχθεί ότι σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο, οι διχοτόμοι των

γωνιών των απέναντι πλευρών είναι παράλληλες προς τις διχοτόμους

των γωνιών, τις οποίες σχηματίζουν οι διαγώνιες του τετραπλεύρου.

Η άσκηση είναι το Θέμα υπ’ αριθ. 674 ( Θεώρημα 131) της Γεωμετρίας Ιησουϊτών πρώτος τόμος σελίδα 302 .

Έχει τεθεί στο παρελθόν σε εισαγωγικές εξετάσεις στη Σ. Μ. Α. και στο Ε. Μ. Π.

Βεβαίως μπορεί να λυθεί με ύλη και μόνο Α Λυκείου ( Λύση του φίλτατου Κώστα)

Όμως νομίζω ότι η δυσκολία της αντιστοιχεί σε φάκελο ανώτερο .

[orestisgotsis]

Περιττό

[Doloros]

Παράλληλες διχοτόμοι .png

Να δειχθεί ότι σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο, οι διχοτόμοι των

γωνιών των απέναντι πλευρών είναι παράλληλες προς τις διχοτόμους

των γωνιών, τις οποίες σχηματίζουν οι διαγώνιες του τετραπλεύρου.

Παράλληλες διχοτόμοι.png (21.11 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές

Η γωνία ισούται με μια κίτρινη και μια πράσινη ( από το -εξωτερική)

Η γωνία ισούται με μια κίτρινη και μια πράσινη ( από το -εξωτερική )

Άμεση συνέπεια: το τετράπλευρο είναι ρόμβος .

Παράλληλες διχοτόμοι_b.png (33.09 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές

Τώρα μια προσπάθεια .

Επειδή τα τετράπλευρα , είναι χαρταετοί, με κυνήγι γωνιών

στο εγγράψιμο τετράπλευρο προκύπτουν όμοια τρίγωνα που πιθανολογώ ότι

εξασφαλίζουν την παραλληλία των διαγώνιων του τετράπλευρου με τις πλευρές του ρόμβου , οπότε προκύπτει το ζητούμενο .

Έχουμε και άλλα όπλα . Θ Μενελάου , Θ. διχοτόμων …

[rek2]

Στο σχήμα του Νίκου, αμέσως παραπάνω, θα δείξουμε την παραληλλία των NK, BD. Χρησιμοποιούμε θεώρημα διχοτόμων, νόμο ημιτόνων και απλή μεταφορά γωνιών:








κ.λπ.